本原過剩數

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本原過剩數Primitive abundant number)也稱為本原豐數,為一數學用語,是指一個整數本身為過剩數,而其真因數(小於本身的因數)均為虧數[1][2]。過剩數及完全數的倍數都會是過剩數,因此本原過剩數可視為除了過剩數及完全數的倍數之外的過剩數。

例如,數字20因為有以下的性質,因此是本原過剩數:

  1. 其真因數的和為1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22,大於20,因此20為過剩數。
  2. 其真因數1, 2, 4, 5, 10的真因數和分別是0, 1, 3, 1, 8,因此其真因數均為虧數。

頭幾個本原過剩數為:

20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572 ... (OEIS中的数列A071395

奇數的本原過剩數中,最小的是945。

性質[编辑]

  • 所有本原過剩數的倍數均為過剩數。
  • 所有過剩數都是本原過剩數或是完全數的倍數。
  • 本原過剩數共有無限多個。
  • 小於等於n的本原過剩數個數為O \left( \frac{n}{\log^2(n)} \right)\,[3]

參考資料[编辑]

  1. ^ MathWorldPrimitive Abundant Number 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  2. ^ Erdős有另外一個本原過剩數的定義,允許完全數也可視為本原豐數,此定義下本原過剩數不一定是過剩數,但確定不會是虧數(Erdős, Surányi and Guiduli. Topics in the Theory of Numbers p214. Springer 2003.)
  3. ^ Paul Erdős, Journal of the London Mathematical Society 9 (1934) 278–282.