本质上确界和本质下确界

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本质上确界本质下确界的概念与上确界下确界有关,但前者与测度论的关联性更大,其中通常要涉及不是处处都成立的命题(也就是对集合所有元素都成立的命题),而是几乎处处,也就是说,除了在测度为零的集合以外。

设(X, Σ, μ)为测度空间,并设f : X → R为定义在X上的实函数,它并不一定是可测的。实数a称为f上确界,如果对于X内的所有x,都有f(x) ≤ a,也就是说,集合

\{x\in X: f(x)>a\}

空集。而a称为本质上确界,如果集合

\{x\in X: f(x)>a\}

的测度为零,也就是说,对于X内的几乎所有x,都有f(x) ≤ a

更加正式地,f本质上确界,ess sup f,定义为:

 \mathrm{ess } \sup f=\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) > a\}) = 0\}\,

如果本质上确界的集合 \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) > a\}) = 0\} 不是空集,否则ess sup f = +∞。

类似地,我们也可以定义本质下确界

 \mathrm{ess } \inf f=\sup \{b \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) < b\}) = 0\}\,

如果本质下确界的集合不是空集,否则为−∞。

例子[编辑]

在实数轴上,考虑勒贝格测度和它对应的σ代数Σ。用以下公式定义f

 f(x)= \begin{cases} 5, & \mbox{if }  x=1  \\ 
                            -4,& \mbox{if }  x = -1 \\
                            2,& \mbox{ otherwise. }
 \end{cases}

这个函数的上确界(最大值)是5,下确界(最小值)是−4。然而,函数只在集合{1}和{−1}内才取得这些值,它们的测度为零。在所有其它地方,函数的值为2。因此,函数的本质上确界和本质下确界都是2。

作为另外一个例子,考虑以下的函数:

 f(x)= \begin{cases} x^3, & \mbox{if }  x\in \mathbb Q  \\ 
                            \arctan{x} ,& \mbox{if } x\in \mathbb R\backslash \mathbb Q \\
 \end{cases}

其中Q表示有理数。这个函数既没有上界也没有下界,所以上确界和下确界分别是∞和−∞。但是,从勒贝格测度的角度来看,有理数集合的测度为零;因此,真正有关的是在这个集合的补集发生的事情,其中函数由arctan x给出。于是,函数的本质上确界是π/2,本质下确界是−π/2。

最后,考虑函数f(x) = x3对于所有的实数x。它的本质上确界是+∞,本质下确界是−∞。

性质[编辑]

  • \inf f \le \mathrm{ess }  \inf f \le \mathrm{ess } \sup f \le \sup f

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