本质奇点

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函数exp(1/z)的图像,在z=0处具有本质奇点,不同的颜色表示辐角值,而亮度则表示绝对值。图像中显示出函数在本质奇点附近从不同方向逼近奇点时的行为。与极点附近全白不同,本质奇点附近是半黑半白的。

复分析中,一个函数本质奇点(Essential Singularity)又称本性奇点,是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。

粗略来说,对复平面 C 上的给定的开子集 U,以及 U 中的一点 a亚纯函数 f : U\{a} → Ca 处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点

例如,函数 f(z) = e^{\frac{1}{z}}z=0 处有一个本质奇点。

严格地说,点 af 的本质奇点当且仅当 f a 处的极限 \lim_{z \to a}f(z) 不存在(既不是一个复数,也不是无穷大)。这种情况会发生当且仅当 f a 附近的每一个邻域中都有极点,或者 f a 处的罗朗展开中含有无穷多个负指数项(即其主值无穷级数)。

亚纯函数在本质奇点附近的行为可以用魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更为强大的皮卡定理描述。皮卡定理说明:在 f 的本质奇点  a 附近的每一个邻域中都会取遍全体复数(或者除了一个值之外)。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • Mathworld中的文章. [18 February, 2008]. 
  • Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
  • Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4

外部链接[编辑]