本质奇点

函数exp(1/z)的图像，在z=0处具有本质奇点，不同的颜色表示辐角值，而亮度则表示绝对值。图像中显示出函数在本质奇点附近从不同方向逼近奇点时的行为。与极点附近全白不同，本质奇点附近是半黑半白的。

在复分析中，一个函数的本质奇点（Essential Singularity）是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。

粗略来说，对复平面 C 上的给定的开子集 U，以及 U 中的一点 $a$，亚纯函数 f : U\{a} → C 在 $a$ 处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。

例如，函数 $f(z) = e^{\frac{1}{z}}$在 $z=0$ 处有一个本质奇点。

严格地说，点 $a$ 是 $f$ 的本质奇点当且仅当 $f$ 在 $a$ 处的极限 $\lim_{z \to a}f(z)$ 不存在（既不是一个复数，也不是无穷大）。这种情况会发生当且仅当 $f$ 在 $a$ 附近的每一个邻域中都有极点，或者 $f$ 在 $a$ 处的罗朗展开中含有无穷多个负指数项（即其主值是无穷级数）。

亚纯函数在本质奇点附近的行为可以用魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更为强大的皮卡定理描述。皮卡定理说明：在 $f$ 的本质奇点 $a$ 附近的每一个邻域中都会取遍全体复数（或者除了一个值之外）。

参见

• 整函数
• 刘维尔定理
• 极点
• 零点

参考来源

• Mathworld中的文章 [18 February 2008]. 
• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4

外部链接

• 斯蒂芬·沃尔夫勒姆的 本质奇点
• Planet Math中的资料