本迪克森-杜拉克定理

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数学裡,本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

\frac{ dx }{ dt } = X(x,y),
\frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)

如果存在\varphi ( x,y) 使得

\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } \ne 0

在研究区域(必须是单连通的)上几乎处处成立,那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明[编辑]

运用反证法,假设研究区域为单连通的区域 D,其内存在对于动力系统:

\frac{ dx }{ dt } = X(x,y),
\frac{ dy }{ dt } = Y(x,y)

的一组周期解(x,y),其周期为T,那么对于

\Gamma : x = x(t) \, \ y = y(t) \, \ 0 \le t \le T

所围成的区域D_{\Gamma} \subset D,有

\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy = \int_{\Gamma} \, \varphi(Xdy - Ydx)
=\int_0^T \, \varphi (X \frac{ dy }{ dt } - Y\frac{ dx }{ dt })dt = \int_0^T \, \varphi (XY - YX)dt = 0

但是由于使得 \frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } = 0 的点 (x,y) 的集合是一个测度为零的集合,所以总可以找到 \varphi 使得\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y } 在零点之外不变号。这样\iint_{D_{\Gamma}} \, (\frac{ \partial (\varphi X) }{ \partial x } + \frac{ \partial (\varphi Y) }{ \partial y }) dx\,dy不可能为0,矛盾!

因此周期解不存在,定理得证。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  • 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,《常微分方程》(第三版),297页,高等教育出版社。
  • MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION,Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]