权重

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即由測量值精度的不同在平差計算中所取的權重不同。精度越高,權越大。

权的基本公式[编辑]

的基本公式为

p_{i}=\frac{\mu^{2}}{m_{i}^{2}}(i=1,2 \ldots)

式中,\mu是任意常数,m_{i}中误差。由此可见,中误差平方成反比,即精度越高,权越大。应用上式求一组观测值的权p_{i}时,必须采用同一个\mu值。

由该定义式,可以看出,当m_{i}=\mu时,p_{i}=1,所以\mu等于1的观测值的中误差,通常称等于1的权为单位权为1的观测值为单位权观测值。而\mu为单位权观测值的中误差,简称为单位权中误差

可以写出各观测值的权之间的比例关系:

p_{1}:p_{2}: \dots :p_{n}= \frac{\mu^{2}}{m_{1}^{2}}: \frac{\mu^{2}}{m_{2}^{2}}:\ldots:\frac{\mu^{2}}{m_{n}^{2}} = \frac{1}{m_{1}^{2}}: \frac{1}{m_{2}^{2}}:\ldots:\frac{1}{m_{n}^{2}}

可知,一组观测值的权之比等于他们的中误差平方的倒数之比。不论假设\mu取何值,这组权之间的比例关系不变。所以,权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说,不在乎权本身数值的大小,而在于确定他们之间的比例关系。m_{i}可以是同一个量的观测中误差,也可以是不同量的观测中误差,即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低,也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

普通测量中的定权[编辑]

同精度丈量时,边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时,水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时,水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值,其权与观测值个数成正比。

观测值函数的权[编辑]

设有独立观测值 L_{1},L_{2},\ldots,L_{n},它们的標準差及权分别为m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}。令观测值函数为:

z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})

误差传播及定权公式,得

\frac{\mu^{2}}{p_{z}}=\left( \frac{\partial f}{\partial L_{1}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{1}}+ \left( \frac{\partial f}{\partial L_{2}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{1}}+\ldots + \left( \frac{\partial f}{\partial L_{n}} \right)^{2}\frac{\mu^{2}}{p_{n}}

式中\left( \frac{\partial f}{\partial L_{n}} \right)是常量,用f_{i}表示,上式约去\mu^{2}后得

\frac{1}{p_{z}}=f_{1}^{2}\frac{1}{p_{1}}+f_{2}^{2}\frac{1}{p_{2}}+\ldots+f_{n}^{2}\frac{1}{p_{n}}=\left[\frac{ff}{p} \right]

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为权倒数传播律

广义算术平均值的权,等于观测值权之和。

p_{x}=[p]