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李亞普諾夫函數

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李雅普诺夫函数Lyapunov function)是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。 其名稱來自俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov)。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。

若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性,此函數稱為李亞普諾夫候選函數Lyapunov-candidate-function)。不過目前還找不到一般性的方式可建構(或找到)一個系統的李亞普諾夫候選函數,而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中,有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。

針對自治系統的李亞普諾夫定理,直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時,此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件,不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣,通常會用試誤法(trial and error)來尋找李亞普諾夫函數。

李亞普諾夫候選函數的定義[编辑]

V:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

純量函數。
若要V為李亞普諾夫候選函數,函數V需為局部正定函數,亦即

V(0) = 0 \,
V(x) > 0 \quad \forall x \in U\setminus\{0\}

其中 Ux = 0鄰域

系統平衡點的轉換[编辑]

g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\dot{y} = g(y) \,

為一個自治(autonomous)的動態系統,其平衡點為y^* \,:

0 = g(y^*) \,

可利用x = y - y^* \, 的座標轉換,使得

\dot{x} = g(x + y^*) = f(x) \,
0 = f(x^*) \quad \Rightarrow \quad x^* = 0 \,

在新的系統 f(x) 中,其平衡點為原點。

若系統的平衡點不是原點,可用上述的方式,轉換為另一個平衡點為原點的系統,因此以下的說明中,均假設原點是系統的平衡點。

自治系統的基本李亞普諾夫定理[编辑]

x^* = 0 \,

為以下自治系統的平衡點

\dot{x} = f(x) \,

且令

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} = \nabla V  \dot{x} = \nabla V f(x)

為李亞普諾夫候選函數V的時間導數。

穩定平衡點[编辑]

若在平衡點的鄰域\mathcal{B},李亞普諾夫候選函數V為正定,且其時間導數半負定:

\dot{V}(x) \le 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}

則此平衡點為一穩定的平衡點。

局部漸近穩定平衡點[编辑]

若在平衡點的鄰域\mathcal{B},李亞普諾夫候選函數V為正定,且其時間導數為負定:

V(x) > 0, \dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

則此平衡點為一局部漸近穩定的平衡點。

全域漸近穩定平衡點[编辑]

若李亞普諾夫候選函數V為全域正定,其時間導數為全域負定:

V(x) > 0, \dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

V滿足以下的條件(稱為「徑向無界」 radially unbounded):

\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty .

則此平衡點為一全域漸近穩定的平衡點。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

外部連結[编辑]