李代数胚

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数学中,李代数胚Lie Algebroid)在李群胚理论中的角色恰如李代数李群理论中的角色:将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”,李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。

确切地说,一个李代数胚是三元组 (E, [\cdot,\cdot], \rho),其中 E流形 M 上一个向量丛[\cdot,\cdot] 是截面 \Gamma (E) 组成的上的一个李括号,向量丛同态 \rho: E\rightarrow TM 称为。这里TMM切丛。锚与李括号满足莱布尼兹法则

[X,fY]=\rho(X)f\cdot Y + f[X,Y]\ ,

这里 X,Y \in \Gamma(E), f\in C^\infty(M)\rho(X)ff 沿着向量场\rho(X) 的导数。从而

\rho([X,Y])=[\rho(X),\rho(Y)]\ ,

对任何 X,Y \in \Gamma(E)

例子[编辑]

  • 任何李代数是单点流形上的李代数胚。
  • 流形 M 的切丛 TM 是一个关于向量场的李括号的李代数胚,锚是 TM 的恒同。
  • 切丛的任何可积子丛(即其截面在李括号下闭)也定义了一个李代数胚。
  • 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚,这里李括号逐点定义而锚映射等于零。
  • 对任何李群胚相伴一个李代数胚,推广了一个李代数怎样相伴到李群(见下)。例如,李代数胚 TM 来自配对群胚,其对象为 M,以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是,从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 [1],不过任何李代数胚给出一个李群胚 [2][3]
  • 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用,Mg-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。
  • 阿蒂亚代数胚:给定流形 M 上的向量丛 V,考虑其导数,即光滑 \Bbb R-线性映射 \psi:\Gamma(V)\to \Gamma(V),且存在一个向量场 X 使得它们满足莱布尼兹法则 \psi(fv)=X[f]v+f\psi(v) 对所有光滑函数 f 与向量丛的所有截面 v 。联系 \psi\to X 显然是线性的,从而有向量丛之间的一个映射 \rho:A(V)\to TM(如果你找出丛使得其截面给出导数)。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 0\to \mathrm{End}_M(V)\to A(V)\to TM\to 0。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚,只需注意到它是相伴于向量丛 V 的标架丛李群胚的李代数胚。

与李群胚相伴的李代数胚[编辑]

为了叙述这个构造我们先确定一些记号。G 是李群胚的态射空间,M 是对象空间,e:M\to G 是单位映射,t:G\to M 为靶映射。

T^tG=\bigcup_{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TGt-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 A:=e^*T^tG,从 G 中继承一个括号,因为我们可以将 M-截面通过 G 上的左不变向量丛等价到 A 中。而且通过将 M 上的光滑函数等价于 G 上的左不变函数,这些截面作用在 M 上的光滑函数上。

作为一个更清晰的例子,考虑配对李群胚 G:=M\times M 相伴的李代数胚。靶映射为 t:G\to M: (p,q)\mapsto p,单位映射 e:M\to G: p\mapsto (p,p)t-纤维是 p\times M 从而 T^tG=\bigcup_{p\in M}p\times TM \subset TM\times TM。所以李代数胚是切丛 A:=e^*T^tG=\bigcup_{p\in M} T_pM=TM。截面 X 扩张到 AG 上一个左不变向量场不过是 \tilde X(p,q)=0\oplus X(q),而 M 上一个光滑函数 f 扩张 M 上一个左不变函数是 \tilde f(p,q)=f(q)。从而 A 上的李括号恰好是切向量场上的李括号,锚映射是恒同。

当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚,同构映射是 i_*,这里 i:G\to G 是逆映射。

参考文献[编辑]

  1. ^ Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033
  2. ^ Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003
  3. ^ Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024

外部链接[编辑]

  • Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220
  • Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
  • Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005
  • Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451