李代数胚

在数学中，李代数胚（Lie Algebroid）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。

确切地说，一个李代数胚是三元组 $(E, [\cdot,\cdot], \rho)$，其中 $E$ 为流形 $M$ 上一个向量丛，$[\cdot,\cdot]$ 是截面 $\Gamma (E)$ 组成的模上的一个李括号，向量丛同态 $\rho: E\rightarrow TM$ 称为锚。这里$TM$ 是 $M$ 的切丛。锚与李括号满足莱布尼兹法则：

$[X,fY]=\rho(X)f\cdot Y + f[X,Y]\ ,$

这里 $X,Y \in \Gamma(E), f\in C^\infty(M)$ 和 $\rho(X)f$ 是 $f$ 沿着向量场$\rho(X)$ 的导数。从而

$\rho([X,Y])=[\rho(X),\rho(Y)]\ ,$

对任何 $X,Y \in \Gamma(E)$。

例子

• 任何李代数是单点流形上的李代数胚。

• 流形 $M$ 的切丛 $TM$ 是一个关于向量场的李括号的李代数胚，锚是 $TM$ 的恒同。

• 切丛的任何可积子丛（即其截面在李括号下闭）也定义了一个李代数胚。

• 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚，这里李括号逐点定义而锚映射等于零。

• 对任何李群胚相伴一个李代数胚，推广了一个李代数怎样相伴到李群（见下）。例如，李代数胚 $TM$ 来自配对群胚，其对象为 $M$，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 ，不过任何李代数胚给出一个栈李群胚 。

• 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。

• 阿蒂亚代数胚：给定流形 M 上的向量丛 V，考虑其导数，即光滑 $\Bbb R$-线性映射 $\psi:\Gamma(V)\to \Gamma(V)$，且存在一个向量场 X 使得它们满足莱布尼兹法则 $\psi(fv)=X[f]v+f\psi(v)$ 对所有光滑函数 f 与向量丛的所有截面 v 。联系 $\psi\to X$ 显然是线性的，从而有向量丛之间的一个映射 $\rho:A(V)\to TM$（如果你找出丛使得其截面给出导数）。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 $0\to \mathrm{End}_M(V)\to A(V)\to TM\to 0$。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚，只需注意到它是相伴于向量丛 V 的标架丛李群胚的李代数胚。

与李群胚相伴的李代数胚

为了叙述这个构造我们先确定一些记号。G 是李群胚的态射空间，M 是对象空间，$e:M\to G$ 是单位映射，$t:G\to M$ 为靶映射。

$T^tG=\bigcup_{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG$ 为 t-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 $A:=e^*T^tG$，从 G 中继承一个括号，因为我们可以将 M-截面通过 G 上的左不变向量丛等价到 A 中。而且通过将 M 上的光滑函数等价于 G 上的左不变函数，这些截面作用在 M 上的光滑函数上。

作为一个更清晰的例子，考虑配对李群胚 $G:=M\times M$ 相伴的李代数胚。靶映射为 $t:G\to M: (p,q)\mapsto p$，单位映射 $e:M\to G: p\mapsto (p,p)$。t-纤维是 $p\times M$ 从而 $T^tG=\bigcup_{p\in M}p\times TM \subset TM\times TM$。所以李代数胚是切丛 $A:=e^*T^tG=\bigcup_{p\in M} T_pM=TM$。截面 X 扩张到 A 中 G 上一个左不变向量场不过是 $\tilde X(p,q)=0\oplus X(q)$，而 M 上一个光滑函数 f 扩张 M 上一个左不变函数是 $\tilde f(p,q)=f(q)$。从而 A 上的李括号恰好是切向量场上的李括号，锚映射是恒同。

当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚，同构映射是 $i_*$，这里 $i:G\to G$ 是逆映射。

外部链接

• Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220

• Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

• Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005

• Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451