李余代数

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数学中,李余代数Lie coalgebra)是与李代数对偶的结构。

在有限维情形,它们是对偶的对象:李代数对偶向量空间上自然有一个李余代数结构,反之亦然。

定义[编辑]

E k 上一个向量空间,上有一个线性映射 d\colon E \to E \wedge EEE 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E外代数上一个度数为 1 的分次导子[1]

d\colon \bigwedge^\bullet E\rightarrow \bigwedge^{\bullet+1} E.

那么二元组 (E,d) 称为李余代数如果 d2 = 0,即外代数的分次分量与导子一起 (\bigwedge^* E, d) 构成一个上链复形

E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge^3 E\rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots.

与德拉姆复形的关系[编辑]

就像流形向量场的外代数(张量代数也是)构成一个(基域 K 上的)李代数,流形上微分形式德拉姆复形形成一个李余代数。进一步,在向量场与微分形式之间有一个配对。

但形式要微妙些:李代数不是光滑函数 C^\infty(M) 上线性的(误差是李导数),外导数也不是:d(fg) = (df)g + f(dg) \neq f(dg)(它是一个导子,但不是函数线性的),它们不是张量。它们不是在函数上线性的,但它们有一种一致的表现,不能简单地由李代数与余代数刻画。

进一步,在德拉姆复形中,导子不仅对 \Omega^1 \to \Omega^2 有定义,而且对 C^\infty(M) \to \Omega^1(M) 有定义。

对偶的李代数[编辑]

向量空间上李代数结构是一个映射 [\cdot,\cdot]\colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g},反对称,且满足雅可比恒等式。等价地,一个映射 [\cdot,\cdot]\colon
\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} 满足雅可比恒等式。

对偶地,向量空间上李余代数结构是一个映射 d\colon E \to E \wedge E,满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射(余交换子)

[\cdot,\cdot]^*\colon \mathfrak{g}^* \to (\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g})^* \cong \mathfrak{g}^* \wedge \mathfrak{g}^*

这里同构 \cong 对有限维成立;对偶是李乘积的对偶。在这种情形下,雅可比恒等式对应于上闭链条件。

更明确地,令 E 是一个李余代数。对偶空间 E* 上带有

α([x, y]) = dα(xy),对所有 α ∈ Ex,yE*

定义的括号结构。

我们证明 E* 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 x, y, zE* 与 α ∈ E

d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} d^2\alpha(x\wedge y\wedge z + y\wedge z\wedge x + z\wedge x\wedge y) =  \frac{1}{3} \left(d\alpha([x, y]\wedge z) + d\alpha([y, z]\wedge x) +d\alpha([z, x]\wedge y)\right),

这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后,给出

d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} \left(\alpha([[x, y], z]) + \alpha([[y, z], x])+\alpha([[z, x], y])\right).

d2 = 0,从而

\alpha([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0 对任意 α, x, y, 与 z

这样,由双对偶同构雅可比恒等式成立。

特别地,注意到证明指出了上闭链条件 d2 = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。

注释[编辑]

  1. ^ 这意味着,对任何齐次元素 a, bEd(a \wedge b) = (da)\wedge b + (-1)^{\operatorname{deg} a} a \wedge(db)