李群

複平面內中心在 0 半徑為 1 的圓是帶有複數乘法的李群。

数学中，李群是具有群结构的流形或者复流形，并且群中的二元运算和逆元运算是流形中的解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。它以索菲斯·李命名。

李群定义

• $G$为有限维实解析流形
• 两个解析映射，二元运算$G \times{} G \rightarrow{} G$，和逆映射$G \rightarrow{} G$满足群公理，从而具有群结构。

解析李群与光滑李群

部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为$C^\infty$）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理. 任意 $C^\infty$ 李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构

$G,H$均为李群，二者之间的一个同态：$f\,:G\rightarrow H$为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

李代数

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設 $G$ 為李群，其李代數 $\mathfrak{g}$ 定義為 $G$ 在單位元的切空間。$\mathfrak{g}$ 自然具備了矢量空間結構，$\mathfrak{g}$ 上的李括積 $[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ 定義如下：

1. 定義 $G$ 對自身的伴隨作用 為 $\mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}$，$x,y \in G$。
2. 取 Ad 對變元 $y \in G$ 在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為 $\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}$，$x \in G, Y \in \mathfrak{g}$。
3. 再對變元 $x \in G$ 微分，得到映射 $\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$。定義李括積為 $[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)$。

不難驗證 $[,]$ 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群 $G$ 是交換群若且唯若 $\mathfrak{g}$ 是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數

若 $G$ 是李群，$H \subset G$ 是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射 $H \to G$ 為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$。反之，任意子李代數 $\mathfrak{h}$ 透過左平移定義了 $G$ 上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群 $H \subset G$。此子群未必是閉子群，它可能是 $G$ 的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射 $\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2$ 未必能提昇至李群的映射 $G_1 \to G_2$，但可提昇至映射 $\tilde{G}_1 \to G_2$，其中 $\tilde{G}_1$ 是 $G_1$ 的萬有覆疊空間。

指數映射

對於任意矢量 $X \to \mathfrak{g}$，根據常微分方程式的基本理論，存在 $G$ 中的單參數子群 $c_X(t), c_X(0)=e$ 使得 $c_X'(t) = c_X(t) \cdot X$。由此得到的映射

$\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G$

$X \mapsto c_X(1)$

稱為指數映射。它總是解析映射。

若 $G$ 為 $\mathrm{GL}(n)$ 的子群，則 $\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}$，這是指數映射一詞的緣由。

當 $G$ 連通且非交換時，指數映射 $\mathfrak{g} \to G$ 並非同態；局部上，$\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)$ 可以由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式表成涉及括積的無窮級數。

一般域上的李群

在任意域、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若域 $F$ 對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義域 $F$ 上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是 $F=\mathbb{C}$；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到 $F$ 為p進數域的情形。

文獻

• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .