李群

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李群定义[编辑]

  • G为有限维实解析流形
  • 两个解析映射,二元运算G \times{} G \rightarrow{} G,和逆映射G \rightarrow{} G满足群公理,从而具有群结构。

解析李群与光滑李群[编辑]

部份书籍在定义李群时假设了解析性,本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑(简记为C^\infty)流形,并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强,实则两者等价:

定理.任意C^\infty李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构[编辑]

G,H均为李群,二者之间的一个同态:f\,:G\rightarrow H群同态并且是解析映射(事实上,可以证明这里解析的条件只需满足连续即可)。显然,两个同态的复合是同态。所有李群的加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射,这个双射及其逆射均为同态,就称之为同构

李代数[编辑]

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀;藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構,可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

G為李群,其李代數\mathfrak{g}定義為G在單位元的切空間\mathfrak{g}自然具備了矢量空間結構,\mathfrak{g}上的李括積[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}定義如下:

  1. 定義G對自身的伴隨作用\mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}x,y \in G
  2. 取Ad對變元y \in G在單位元上的微分,得到李代數上的伴隨作用,通常記為\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}x \in G, Y \in \mathfrak{g}
  3. 再對變元x \in G微分,得到映射\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}。定義李括積為[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)

不難驗證[,]滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質,例如:連通李群G是交換群若且唯若\mathfrak{g}是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義,或者取定局部坐標,用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數[编辑]

G是李群,H \subset G是其子群,並帶有李群結構,使得包含映射H \to G為浸入(不一定是閉的),則可得到子李代數\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}。反之,任意子李代數\mathfrak{h}透過左平移定義了G上的葉狀結構,取含單位元的極大積分流形,便得到滿足前述條件的子群H \subset G。此子群未必是閉子群,它可能是G的稠密子集(考慮環面的例子)。

李代數的映射\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2未必能提昇至李群的映射G_1 \to G_2,但可提昇至映射\tilde{G}_1 \to G_2,其中\tilde{G}_1G_1的萬有覆疊空間

指數映射[编辑]

對於任意矢量X \to \mathfrak{g},根據常微分方程式的基本理論,存在G中的單參數子群c_X(t), c_X(0)=e使得c_X'(t) = c_X(t) \cdot X。由此得到的映射

\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G
 X \mapsto c_X(1)

稱為指數映射。它總是解析映射。

G\mathrm{GL}(n)的子群,則\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!},這是指數映射一詞的緣由。

G連通且非交換時,指數映射\mathfrak{g} \to G並非同態;局部上,\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般域上的李群[编辑]

在任意乃至於概形上,都可以定義群概形;這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義,然而李群未必是代數簇

另一方面,若域F對某個絕對值是完備域,其特徵為零,則可照搬解析李群的定義以定義域 F上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是F=\mathbb{C};至於數論方面,特別涉及自守表示的研究上,則須用到Fp進數域的情形。

文獻[编辑]

  • D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .