李群

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消歧義
本文介绍的是数学中的李群。關於其他含义，詳見李群 (消歧义)。
複平面內中心在 0 半徑為 1 的圓是帶有複數乘法的李群。
群
群论
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数学中，李群是具有群结构的流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是流形中的解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。它以索菲斯·李命名。

目录

[编辑] 李群定义

  • G为有限维实解析流形
  • 两个解析映射，乘法运算G \times{} G \rightarrow{} G，和逆映射G \rightarrow{} G满足群公理，从而具有群结构。

[编辑] 解析李群与光滑李群

部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为C^\infty）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理. 任意 C^\infty 李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

[编辑] 同态和同构

G,H均为李群，二者之间的一个同态：f\,:G\rightarrow H为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

[编辑] 李代数

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設 G 為李群，其李代數 \mathfrak{g} 定義為 G 在單位元的切空間。\mathfrak{g} 自然具備了矢量空間結構，\mathfrak{g} 上的李括積 [,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} 定義如下：

  1. 定義 G 對自身的伴隨作用 為 Ad(x)(y): = xyx − 1，x,y \in G。
  2. 取 Ad 對變元 y \in G 在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為 Ad(x)(Y) = xYx − 1，x \in G, Y \in \mathfrak{g}。
  3. 再對變元 x \in G 微分，得到映射 \mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}。定義李括積為 [X,Y]: = ad(X)(Y)。

不難驗證 [,] 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群 G 是交換群若且唯若 \mathfrak{g} 是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

[编辑] 李群對應李代數

若 G 是李群，H \subset G 是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射 H \to G 為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數 \mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}。反之，任意子李代數 \mathfrak{h} 透過左平移定義了 G 上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群 H \subset G。此子群未必是閉子群，它可能是 G 的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射 \mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2 未必能提昇至李群的映射 G_1 \to G_2，但可提昇至映射 \tilde{G}_1 \to G_2，其中 \tilde{G}_1 是 G1 的萬有覆疊空間。

[编辑] 指數映射

對於任意矢量 X \to \mathfrak{g}，根據常微分方程式的基本理論，存在 G 中的單參數子群 cX(t),cX(0) = e 使得 c_X'(t) = c_X(t) \cdot X。由此得到的映射

\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G
X \mapsto c_X(1)

稱為指數映射。它總是解析映射。

若 G 為 GL(n) 的子群，則 \mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^n}{n!}，這是指數映射一詞的緣由。

當 G 連通且非交換時，指數映射 \mathfrak{g} \to G 並非同態；局部上，exp(X)exp(Y) 可以由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式表成涉及括積的無窮級數。

[编辑] 一般域上的李群

在任意域、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若域 F 對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義域 F 上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是 F=\mathbb{C}；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到 F 為p進數域的情形。

[编辑] 文獻

  • D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .
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