李群胚

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中,李群胚Lie groupoid)是满足如下条件的群胚对象集合 Ob态射集合 Mor 都是流形,源与靶运算

s,t : Mor \to Ob

淹没,以及所有范畴运算(源与靶,复合,单位映射)都是光滑的。

就像群胚是有许多对象的,一个李群胚可以想象为“有许多对象的李群推广”。恰如每个李群有一个李代数,每个李群胚有一个李代数胚

例子[编辑]

  • 任何李群给出了具有一个对象的李群胚,反之亦然。所有李群胚理论包含李群理论。
  • 给定任何流形 M,有一个李群胚称为配对李群胚,M 作为对象流形,从一个对象到任何对象恰有一个态射。在这个群胚的态射流形是 M \times M
  • 给定一个李群 G 作用在流形 M 上,有一个称为平移李群胚的李群胚,对每个三元组 g \in G, x,y \in M 使得 gx = y 有一个态射。
  • 任何带有结构群 G主丛 P\to M 给出了一个李群胚,即在 M 上的 P\times P/G,这里 G 作用在二元组的每个分量上。通过配对群胚相容的表示定义复合。

森田态射与光滑栈[编辑]

除了群胚的同构,李群胚之间有一个粗糙一点的等价关系,即所谓的森田等价。一个很一般的例子是 切赫群胚之间的森田态射,如下所述。设 M 是一个光滑流形而 \{U_\alpha\}M 的开覆盖。定义不交并 G_0:=\bigsqcup_\alpha U_\alpha ,显然有淹没 p:G_0\to M。为了说明流形 M 的结构定义态射集合 G_1:=\bigsqcup_{\alpha,\beta}U_{\alpha\beta},这里U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta\subset M。源与靶映射定义为嵌入 s:U_{\alpha\beta}\to U_\alphat:U_{\alpha\beta}\to U_\beta。如果我们将 U_{\alpha\beta} 视为 M 的子集,乘法是显然的(U_{\alpha\beta}U_{\beta\gamma} 一致的点事实上在 M 中相同,也在 U_{\alpha\gamma} 里)。

这个切赫群胚事实上是 M\Rightarrow M 的拉回群胚,即 Mp 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。

为了得到等价关系的概念,我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下,我们说两个群胚 G_1\Rightarrow G_0H_1\Rightarrow H_0 森田等价当且仅当存在第三个群胚K_1\Rightarrow K_0 以及从 GKHK 的两个森田态射。传递性是群胚主丛范畴中有趣的构造。

在这里问题出现:在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西,一个是群胚的粗糙商/轨道空间 G_0/G_1 = H_0/H_1,另一个是 p\in G_0q\in H_0 中对应点的稳定群。

更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形,比如如果稳定群是平凡的(切赫群胚的例子便是)。但如果稳定群变了,我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义:

一个光滑栈是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的上同调

例子[编辑]

  • 光滑栈的概念非常广泛,显然所有光滑流形是光滑栈。
  • 轨形也是光滑栈,即 艾达尔群胚的等价类。
  • 叶状结构的轨道空间是另一类例子。

外部链接[编辑]

  • Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220
  • Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.
  • Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005