杨氏不等式

在数学上，Young不等式，指出：假设 a, b, p 和q 是正实数 ，且有1/p + 1/q = 1 ，那么：

$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$

等号成立当且仅当 $a^p = b^q$ ，因为这时$ab = a(b^q)^{1 \over q} = aa^{p \over q} = a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}$。

Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Hölder不等式的一个快捷方法。

证明

我们知道函数$f(x) = e^x$ 是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有：

$ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}$.

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 t ，若 0 < t <1，则有：

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$。

推广

设$\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是一个连续、严格递增函数且 $\phi(0)=0$ 。那么下面的不等式成立：

$ab \leq \int_{0}^a \phi(x) dx + \int_{0}^b \phi^{-1}(y) dy$

观察$\phi(x)$的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由$a$和$b$组成的矩形的面积大。

参考来源

• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04. 
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07.