本页使用了标题或全文手工转换

杨辉三角形

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
永乐大典一页
杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形

杨辉三角形,又称賈憲三角形帕斯卡三角形海亚姆三角形,是二项式係數在的一种写法,形似三角形,中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名,书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》,故又名贾宪三角形。前9层写出来如下:

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

杨辉三角形第n层(顶层称第0层,第1行,第n层即第n+1行,此处n为包含0在内的自然数)正好对应于二项式\left(a+b\right)^{n}展开的系数。例如第二层1 2 1是幂指数为2的二项式\left(a+b\right)^{2}展开形式a^{2}+2ab+b^{2}的系数。

性質[编辑]

每個數是它左上方和右上方的數的和
  1. 楊輝三角以正整數構成,數字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2. n行的数字个数为n个。
  3. n行的第k個數字為組合數C_{n-1}^{k-1}
  4. n行数字和为2^{n-1}
  5. 除每行最左側與最右側的數字以外,每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和(也就是說,第n行第k個數字等於第n-1行的第k-1個數字與第k個數字的和)。這是因为有組合恒等式:C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^{i}。可用此性质写出整个楊輝三角形。

歷史[编辑]

朱世杰《四元玉鉴》中的「古法七乘方圖」

波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人欧玛尔·海亚姆(عمر خیام,Omar Khayyám)在10世紀都發現了這個三角形,而且還知道可以借助這個三角形找n次根,和它跟二项式的關係。但他们的著作已不存。[1]

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角,并发明了增乘方造表法,可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表(古代称数字表为“立成”)的构造进行描述。[2]。贾宪的三角表图和文字描写,仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》[3]

1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》[4]

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」(Triangolo di Tartaglia)以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果,並以此解決一些概率論上的問題,影响面广泛,Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕·棣莫弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家:


  • Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世紀(图文无存)
  • 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》 (图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功(图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
  • 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 (现存图文)
  • 阿皮亚纳斯 德国 1527
  • 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
  • 薛贝尔 法国 1545
  • B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

中国数学家的研究[编辑]

中国贾宪是贾宪三角的发明人,贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”,朱世杰称之为“古法七乘方图”(1303年),明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”(1450年);明王文素算学宝鉴》称之为“开方本源图”(1524年);明代程大位算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”(1592年)。 清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”(1692年);清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”;焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”;刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”;项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”;李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”,但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。[5]。著名数学家华罗庚,在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》[6],将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”,首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下;此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之[7]。另一方面,专业的中国数学史著作,都用“贾宪三角”这个称呼。[8][9]

一個數在杨辉三角出現的次數[编辑]

由1開始,正整數在楊輝三角形出現的次數為:,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527

  • 除了1之外,所有正整數都出現有限次。
  • 只有2出現剛好一次。
  • 6,20,70等出現三次。
  • 出現兩次和四次的數很多。
  • 還未能找到出現剛好五次的數。
  • 120,210,1540等出現剛好六次。(OEIS:A098565
    • 因為丟番圖方程
      {n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},
      有無窮個解[10],所以出現至少六次的數有無窮個多。
    • 其解答,是
n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,
k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,
    • 其中F_n表示第n個斐波那契數(F_1 = F_2 = 1)。
  • 3003是第一個出現八次的數。

相關條目[编辑]

參考[编辑]

  1. ^ Victor J. Katz, editor, The Methematics of Egypt, Mesopotamia,China,India, and Islam, A Source book p518, Princeton University Press 2007
  2. ^ 郭书春著 《中国科学技术史·数学卷》第十五章 《唐中叶至元中叶熟悉概论》第357页 (贾宪)创造《开发作法本源》即贾宪三角 科学出版社 2010
  3. ^ 永乐大典》卷一万六千三百四十四
  4. ^ 朱世杰 原著 李兆华校证 《四元玉鉴校证》卷首《古法七乘方图》 第58页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  5. ^ 李俨 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷6,215-230页
  6. ^ 华罗庚著 《从杨辉三角谈起》 《数学通报丛书》科学出版社 1956年10月
  7. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》422页 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  8. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 704页
  9. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  10. ^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

外部連結[编辑]