极值

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

在数学中,极大值与极小值(又被称为极值)是指在一个上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域,又可以是整个函数域(这时极值称为最值)。

定义[编辑]

  • 局部最大值:如果存在一个 ε > 0,使的所有满足|x-x*| < εx都有f(x*) ≥ f(x) 我们就把点x*对应的函数值f(x*)称为一个函数 f局部最大值。从函数图像上看,局部最大值就像是山顶。
  • 局部最小值:如果存在一个 ε > 0,使的所有满足|x-x*| < εx都有f(x*) ≤ f(x) 我们就把点x*对应的函数值f(x*)称为一个函数 f局部最小值。从函数图像上看,局部最小值就像是山谷的底部。
  • 全局(或称‘绝对’)最大值:如果点x* 对于任何x都满足f(x*) ≥ f(x),则点f(x*)称为全局最大值。
  • 全局(或称‘绝对’)最小值:如果点x* 对于任何x都满足f(x*) ≤ f(x),则点f(x*)称为全局最小值。

全局最值一定是局部极值,反之则不然。

极值的概念不仅仅限于定义在实数上的函数。定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值,函数值必须为实数,同时此函数的定义域上必须能够定义邻域。邻域的概念使得在x的定义域上可以有|x - x*| < ε

局部最大值(最小值)也被称为极值(或局部最优值),全局最大值(最小值)也被称为最值(或全局最优值)。

求极值的方法[编辑]

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数,求极值的一种方法是求驻点(亦称为静止点,停留点,英语stationary point),也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正,那么这个点就是局部最小值;如果二阶导数为负,则是局部最大值;如果为零,则还需要进一步的研究。

一般地,如果在驻点处的一阶、二阶、三阶……直到N阶导数都是零,而N+1阶导数不为零,则当N奇数且N+1阶导数为正时,该点为极小值;当N是奇数且N+1阶导数为负时,该点为极大值;如果N是偶数,则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内,则还要检查局域的边界点。 如果函数在定义域内存在不可导点,则这些不可导点也可能是极值点。

例子[编辑]

  • 函数 x^2 有惟一最小值,在x = 0 处取得。
  • 函数 x^3 没有最值,也没有极值,尽管其一阶导数3x^2x = 0处也为 0。因为其二阶导数(6x) 在该点也是0,但三阶导数不是零。
  • 函数cos(x)有无穷多个最大值,在x =0, ±2π, ±4π, ...,与无穷多个最小值 在x =±π, ±3π ... .

求函数的极值时还应当考虑其不可导点,即导数不存在的点。 如函数y=|x| 中0处的导数不存在,事实上从图像上也能看出这一点来。而且0就是该函数的一个极小值。

多变量函数[编辑]

对于多变量函数(多元函数),同样存在在极值点的概念。其定义为:

 设f(P)在点P0领域U(P0)内有定义,若对于所有P0去心邻域的点P,都有f(P)<f(P0),则称P0是f(P)的极大值;反之,则为极小值[1]

此外,也有鞍点的概念。

参见[编辑]

注脚[编辑]

  1. ^ 不同文献对此定义尚未统一。在部分文献中,此定义又称“绝对极值点”,与“≥”、“≤”的定义相区别