极分解

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数学中,特别是线性代数泛函分析裡,一个矩阵线性算子极分解是一种类似于复数极坐标分解的分解方法。一个复数 z 可以用它的模长辐角表示为:

z = r e^{i \theta}\,

其中 rz模长(因此是一个实数),而 \theta 则为 z 的辐角。

矩阵的极分解[编辑]

一个复系数矩阵 A极分解将其分解成两个矩阵的乘积,可以表示为:

A = UP\,

其中 U 是一个酉矩阵P 是一个半正定的埃尔米特矩阵。这样的分解对任意的矩阵 A 都存在。当 A可逆矩阵时,分解是唯一的,并且 P 必然为正定矩阵。注意到:

\det A = \det P\,\det U = re^{i\theta}

可以看出极分解与复数的极坐标分解的相似之处:P 对应着模长(|\det A| = \det P),而 U 则对应着辐角部分 \theta\det U =e^{i \theta})。
矩阵 P 可以由

P = \sqrt{A^*A}

得到,其中 A* 表示矩阵 A共轭转置。由于 A^*A 为半正定的埃尔米特矩阵,它的平方根唯一存在,所以这个式子是有意义的。而矩阵 U 可以通过表达式

U = AP^{-1} 得到。

当对矩阵 A 进行奇异值分解得到 A = W Σ V*后,可以因而导出其极分解:

P = V \Sigma V^*\,
U = W V^*\,

可以看到导出的矩阵 P 是正定矩阵,而 U 是酉矩阵。

对称地,矩阵 A 也可以被分解为:

A = P'U\,

这里的 U 仍然是原来的酉矩阵,而 P′ 则等于:

P' = UPU^{-1} = \sqrt{AA^*} = W \Sigma W^*

这个分解一般被称为左极分解,而文章开头介绍的分解被称为右极分解。左极分解有时也被称为逆极分解

矩阵 A正规的当且仅当 P′ = P。这时候 UΣ = ΣU,并且 U 可以用与 Σ 交换的酉对称矩阵 S 进行酉对角化,这样就有 S U S* = Φ-1,其中 Φ 是一个表示辐角的酉对角矩阵e。如果设 Q = V S*,那么极分解就可以被改写为:

 A = (Q \Phi Q^*)(Q \Sigma Q^*),\,

因此矩阵 A谱分解

 A = Q  \Lambda Q^* \,

其中的特征值为复数,ΛΛ* = Σ2

A 射到其极分解裡的酉部分 U 是一个从一般线性群 GL(n,C) 射到酉群 U(n) 的映射。这是一个同伦等价,因为所有正定矩阵构成的空间是一个可缩空间。实际上,U(n) 是 GL(n,C) 的极大紧子群

希尔伯特空间上的有界算子[编辑]

从复希尔伯特空间到复希尔伯特空间有界线性算子 A极分解,是将其正则分解为一个准等距变换和一个半正定算子的乘积。

矩阵的极分解被推广为:如果 A 是一个有界线性算子,那么可以将其唯一地分解为乘积 A = UP,其中 U 是一个准等距变换,而 P 是一个半正定的自伴算子,并且 U 的定义空间覆盖 P 的像集。

无界算子[编辑]

如果 A 是复希尔伯特空间之间的稠定无界算子,那么仍然有惟一的极分解

A = U |A|\,

这里 |A| 是一个(可能无界)非负自伴算子,与 A 有相同的定义域,U 是一个在值域 Ran(|A|) 的正交补上为 0 的部分等距。

用上面同样的引理,在无界算子同样一般地成立。如果 Dom(A*A) = Dom(B*B) 和 A*Ah = B*Bh 对所有 hDom(A*A) 成立,那么存在一个部分等距 U 使得 A = UB。如果 Ran(B)Ker(U),则 U 是惟一的。算子 A 是闭稠定的保证了算子 A*A 是自伴的(有同样的定义域),从而我们可以定义(A*A)½。 利用引理便给出了极分解。

如果一个无界算子 A 是对冯·诺依曼代数 Maffiliated operator,且 A = UP是其极分解,那么 UM中从而是 P, 1B(P) 对任何 [0, ∞) 中 Borel 集 B 的谱投影。

应用[编辑]

连续介质力学中使用极分解来将形变分解成拉伸和旋转的部分,其中 P 表示拉伸的部分,U 表示旋转的部分。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990
  • Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)