极点 (代数)

伽玛函数的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同z-a = 0时1/(z-a)ⁿ的奇点。这就是说，如果当z趋于a时，函数f(z)趋于无穷大，那么f(z)在z = a处便具有极点。

定义 [编辑]

假设U是复平面C的开子集，a是U的一个元素，f : U − {a} → C是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数g : U → C和一个非负整数n，使得对于所有U − {a}内的z，都有

$f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}$

那么a便称为f的极点。满足以上条件的最小整数n称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点，零阶的极点又称为可去奇点。

从以上的定义，我们可以推出一些特征：

如果n是a阶极点，则在以上的表达式中必有g(a) ≠ 0。因此，我们有

$f(z) = \frac{1}{h(z)}$

其中h是在a的开邻域内全纯的函数，在a处具有n阶零点。

另外，由于g是全纯函数，f可以表示为：

$f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.$

这是一个罗朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数∑_k≥0a_k (z - a)^k称为f的正则部分。因此，点a是f的n阶极点，当且仅当f在a处的罗朗级数中所有低于−n的次数都为零，而−n次项不为零。

如果函数f的一阶导数在a处具有简单极点，则a是f的一个分支点，但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。