极限点

在数学中，非正式的说在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点，就是可以被 S 中的点（不包含 x本身）随意“逼近”的點。这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。

一个有关的概念是序列的聚集点或会聚点。

定义

设S 为拓扑空间$X$ 的一個子集，若所有包含x （注意x不一定属于S）的开集也包含至少一个S 內的非x 的点，即稱x 為S 的极限点。由S 內所有極限點所組成的集合稱為S 的導集，標記為$S'$。

在T₁ 空間裡，上述定義和要求x 的每個鄰域皆包含無限多個S 的點是等價的。（在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，這樣通常會比較輕鬆。）

另外，若X 為序列空間，則可稱x ∈ X 為S 的極限點，若且唯若存在一個由S \ {x} 的點組成的ω 序列，其極限為x；這也是「極限點」此一名稱的由來。

特殊类型的極限點

如果包含 x 的所有开集都包含无限多个 S 的点，则 x 是特殊类型极限点，称为 S 的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

如果包含 $x$ 的所有開集都包含不可数多個 $S$ 的點，則 $x$ 是特殊类型的极限点，稱為 $S$ 的缩合点（condensation point）。

ω‐会聚点

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中，两者概念不再等价。对于非强拓扑空间，一个所有ω‐会聚点都属于本身的集合不一定是闭集，但一个所有极限点都属于本身（导集包含于自身）的集合必爲闭集。

（度量空间的）聚集点

在带有距离 d 的度量空间 X 中，称 X 中点 x 是序列 x_n 的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point），是指对于所有 ε > 0，有无限多的 n 值使得 d(x,x_n ) < ε。等价的说，所有 x 的开邻域包含对无限多 n 的 x_n。

序列中的点的集合的极限点是这个序列的聚集点。但是，如果对于无限多的 n，x_n 的值是相等的，这个点是这个序列的聚集点但不必然是在这个序列中的点的集合的极限点。

序列的聚集点是子序列极限：即某个子序列的极限。

网的概念推广了序列的想法。在网中的聚集点包括了缩合点和 ω-会聚点二者的想法。

如果 φ 是在 X 上的基于有向集合 D 的网，而 A 是 X 的子集，则 φ 经常在 A 中，如果对于所有 D 中的 α 存在某个 β ≥ α 有 β 在 D 中，所以 φ(β) 在 A 中。在 X 中的点 x 被称为是网的会聚点或聚集点，当且仅当对于 x 的邻域 U，这个网经常在 U 中。

聚集和极限点也定义于滤子的相关主题中。

序列的所有聚集点的集合有时叫做极限集合。

性质

• 关于极限点的性质：$x$ 是 $S$ 的极限点，当且仅当它属于 $S$ \ {$x$} 的闭包。
  • 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x 是$S$的极限点，当且仅当所有$x$的邻域都包含一个非$x$的点属于 S，当且仅当所有$x$的邻域含有一个点属于$S$\ {x}，当且仅当$x$属于$S \ {''x''}$ 的闭包。

• $S$的闭包具有下列性质：$S$的闭包等于$S$和其導集的并集。
  • 证明：（从左到右）设$x$属于$S$的闭包。若$x$属于 S，命题成立。若$x \notin S$，则所有$x$的邻域都含有一个非$x$的点属于$S$；也就是说，x 是$S$的极限点，$x \in S'$。（从右到左）设$x$属于 S，则明显地所有$x$的邻域和$S$相交，所以$x$属于$S$的闭包。若$x$属于 L(S)，则所有$x$的邻域都含有一个非$x$的点属于 S，所以$x$也属于$S$的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合$S$是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
  • 证明1：S 是闭集，当且仅当$S$等于其闭包，当且仅当$S$=$S$∪ L(S)，当且仅当 L(S) 包含于 S。
  • 证明2：设$S$是闭集，$x$是$S$的极限点。 则$x$必须属于 S，否则$S$的补集为$x$的开邻域，和$S$不相交。相反，设$S$包含所有它的极限点，需要证明$S$的补集是开集。设$x$属于$S$的补集。根据假设，x 不是极限点，则存在$x$的开邻域 U 和$S$不相交，则 U 在$S$的补集中，则$S$的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。
  • 证明：若$x$是孤点，则 {x} 是只含有$x$的$x$的邻域。

• 空间$x$是离散空间，当且仅当$x$的子集都没有极限点。
  • 证明：若$x$是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若$x$不是离散空间，则单元素集合 {x} 不是开集。那么，所有 {x} 的邻域都含有点 y ≠ x，则$x$是$x$的极限点。

• 若空间$x$有密着拓扑，且$S$是$x$的多于一个元素的子集，则$x$的所有元素都是$S$的极限点。若$S$是单元素集合，则所有$x$\$S$的点仍然是$S$的极限点。
  • 说明：只要$S$\ {x} 非空，它的闭包就是 X；只有当$S$是空集或$x$是$S$的唯一元素时，它的闭包才是空集。

引用

• PlanetMath上limit point的資料。