查普曼-科尔莫戈罗夫等式

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数学概率论中,尤其是随机过程理论中,Chapman-Kolmogorov等式是一个重要的结论。它将一个随机过程的几个不同维的联合分布函数联系在一起。

假设 { fi } 是一个随机过程,即一个随机变量集合(每个元素对应一个只命名不排序的索引)。 记

p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)

为从f1fn的各随机变量的联合分布函数,则Chapman-Kolmogorov等式为:

p_{i_1,\ldots,i_{n-1}}(f_1,\ldots,f_{n-1})=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)\,df_n

也就是说,这是一个直接定义在干扰随机变量上的条件概率

(注意这里各随机变量的顺序不重要).

特化为马尔可夫链[编辑]

如果随机过程特定为马尔可夫链,Chapman-Kolmogorov等式就是关于转移概率的公式。在马尔可夫链中,随机变量在一个按时间排序的数组i_1<\ldots<i_n中。按马尔可夫性质(无记忆性质),

p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)\cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_n{\mid}f_{n-1}),

(其中条件概率p_{i;j}(f_i{\mid}f_j)i>j时间的转移概率。Chapman-Kolmogorov等式简化为:

p_{i_3;i_1}(f_3{\mid}f_1)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_3;i_2}(f_3\mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)df_2.

如果马尔可夫链的状态空间的概率分布是离散的,Chapman-Kolmogorov等式可表示为(可到无穷维的)矩阵相乘

P(t+s)=P(t)P(s)\,

(其中P(t)是转移矩阵,X_tt时间的系统状态),则对于系统状态空间中的任意两个点ij

P_{ij}(t)=P(X_t=j\mid X_0=i).

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参考文献[编辑]