柯尼斯堡七桥问题

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歐拉時代的柯尼斯堡地圖,顯示了當時七座橋的實際位置。河流和橋樑使用特別的顏色標記出來。

柯尼斯堡七桥问题图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例:當時東普魯士柯尼斯堡(今日俄羅斯加里寧格勒)市区跨普列戈利亚河两岸,河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下,如何才能把这个地方所有的橋都走遍?

解決方式[编辑]

莱昂哈德·欧拉在1735年提出,並沒有方法能圓滿解決這個問題,他更在第二年发表在论文《柯尼斯堡的七桥》中,證明符合条件的走法並不存在,也順帶提出和解決了一筆畫問題[1]。这篇论文在聖彼得堡科學院發表,成为圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合,每一座橋視為一條線,橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點,則這一點的線數必須是偶數,这样的点称为偶顶点。相对的,连有奇数条线的点称为奇顶点。欧拉论述了,由于柯尼斯堡七桥问题中存在4个奇顶点,它无法实现符合题意的遍历。

Konigsberg bridges.png7 bridges.svgKönigsberg graph.svg

欧拉把问题的实质归于一笔画问题,即判断一个图是否能够遍历完所有的边而没有重复,而柯尼斯堡七桥问题则是一笔画问题的一个具体情境。歐拉最後給出任意一種河──橋圖能否全部走一次的判定法則,从而解决了“一笔画问题”。对于一个给定的连通图,如果存在两个以上(不包括两个)奇顶点,那么滿足要求的路線便不存在了,且有n个奇顶点的图至少需要n/2笔画出。如果只有兩個奇顶点,則可從其中任何一地出發完成一笔画。若所有点均为偶顶点,則從任何一点出發,所求的路線都能實現,他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。[1]

不少數學家都嘗試去解析這类事例。而這些解析,最後發展成為了數學中的圖論

资料来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The KÄonigsberg Bridge Problem