柯爾莫果洛夫空間

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拓扑学和相关的数学分支中,T0空間,又稱柯爾莫哥洛夫空間,以數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名,形成了一类广泛的表现良好的拓扑空间。T0 条件是分离公理之一。

定义[编辑]

T0 空间是其中所有成对的独特的点是拓扑可区分的。就是说,对于任何两个独特的点 xy 有一个开集正好只包含这两个点中的一个。

注意拓扑可区分点自动的是独特的。在另一方面,如果单元素集合 {x} 和 {y} 是分离的,则点 xy 必定是拓扑可区分的。就是说,

“分离”的 ⇒ “拓扑可区分”的 ⇒ “独特”的

是拓扑可区分的性质一般的要强于是独特的,但要弱于可分离的。在 T0 空间中,第二个箭头是可以反转的,点是独特的当且仅当它们是可区分的。这是 T0 公理适合余下分离公理之处。

例子和反例[编辑]

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T0 的。特别是,所有豪斯多夫空间T1 空间都是 T0 的。

非 T0 空间[编辑]

  • 有多于一个元素的集合带有密着拓扑。没有点是可区分的。
  • 集合 R2 这里的开集是 R 的开集和 R 自身的笛卡尔乘积,就是说带有平常拓扑 R 和带有密着拓扑 R乘积空间;点 (a,b) 和 (a,c) 是不可区分的。
  • 所有从实直线 R复平面 C可测度函数 f 的空间,它使得 |f(x)|2 在整个实直线上的勒贝格积分有限的。几乎处处相等的两个函数是不可区分的。

T0 但非 T1 空间[编辑]

  • 交换环 R素环谱 Spec(R) 上的 Zariski拓扑总是 T0 但一般不是 T1。非闭合点对应于不是极大理想素理想。它们对于理解概形是重要的。
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的特定点拓扑是 T0 但不是 T1,因为特定点不是闭合的(它的闭包是整个空间)。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的 Sierpiński空间
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的排斥点拓扑是 T0 但不是 T1。唯一闭合点是排斥点。
  • 偏序集合上的Alexandrov拓扑是 T0 但不是 T1 除非这个次序是离散的(一致于相等性)。所有有限 T0 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
  • 全序集合上的右序拓扑是有关的例子。
  • 重叠区间拓扑类似于特定点拓扑,因为所有开集都包括 0。
  • 非常一般的说,拓扑空间 X 是 T0 的,当且仅当在 X 上的特殊化预序偏序。但是,X 将是 T1 的,当且仅当这个次序是离散的(一致于相等性)。所以空间将是 T0 但不是 T1,当且仅当在 X 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

操作 T0 空间[编辑]

典型研究的拓扑空间的例子是 T0。实际上,当数学家在很多领域特别是数学分析中,偶尔遇到非T0 空间的时候,它们通过以如下方式把它替代为 T0 空间。为了激发涉及到的想法,考虑周知的例子。L2(R) 空间是从实直线 R复平面 C可测度函数的空间,它使得 |f(x)|2 在整个实直线上的勒贝格积分有限的。这个空间应当通过定义范数 ||f|| 为这个积分的平方根来变成赋範向量空间。问题是这不是实际上的範数,只是半範数,因为有除了零函数之外有(半)范数为零的函数。标准解决是定义 L2(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋範向量空间的商空间,而这个商是赋範向量空间。它从半赋範空间继承了一些方便的性质。

一般的说,在处理集合 X 上一个固定拓扑 T 的时候,如果这个拓扑是 T0 将是有帮助的。换句话说,在 X 是固定而 T 允许在特定边界内变化的时候,强迫 T 是 T0 将是不方便的,因为非 T0 拓扑经常是重要的特殊情况。因此,區分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T0 和非 T0 版本二者是重要的。

柯爾莫哥洛夫商空间[编辑]

点的拓扑不可区分性是等价关系。不管给出了何种拓扑空间 X,在这个等价关系下的商空间总是T0。这个商空间叫做 X柯爾莫果洛夫商空间,它指示为 KQ(X)。当然,如果 X 就是 T0,则 KQ(X) 和 X自然同胚的。绝对的说,柯爾莫果洛夫空间是拓扑空间的反射子范畴,而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间 XY柯爾莫果洛夫等价的,当它们的柯爾莫果洛夫商同胚的时候 。这种等价性保持很多拓扑空间的性质;就是说,如果 XY 是柯爾莫果洛夫商,则 X 有某种性质当且仅当 Y 也有。在另一方面,多数其他拓扑空间的性质蕴涵了 T0 性;就是说如果 X 有这种性质,则 X 必定是 T0。只有很少性质比如是不可分空间,是这个经验规则的例外。甚至更好,在拓扑空间上定义的很多结构都可在 X 和 KQ(X) 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T0 拓扑空间,则你通常可通过选取柯爾莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T0 空间。

L2(R) 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度,这个半赋範向量空间有很多额外的结构;例如,它是向量空间,并有半范数,并且这些定义了相容于这个拓扑的伪度量一致结构。还有,这些结构有很多性质;例如半范数满足平行四边形恒等式而一致结构是完备的。这个空间不是 T0 的因为几乎处处相等的任何两个 L2(R) 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯爾莫果洛夫商的时候,实际的 L2(R) 保持了这些结构和性质。因此,L2(R) 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点,因为这个空间现在是 T0 的。半范数是范数,当且仅当底层拓扑是 T0,所以 L2(R) 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做希尔伯特空间。它是数学家(和研究量子力学物理学家)一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L2(R) 通常指示柯爾莫果洛夫商,在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合,而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

去除 T0[编辑]

你可能注意到了,经管范数历史上定义在先,人们也提出了半范数的定义,它是范数的一种非 T0 版本。一般的说,可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T0 版本。首先,考虑拓扑空间的一个性质,比如是豪斯多夫的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质,通过定义空间 X 为满足这个性质,当且仅当柯爾莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质,这种空间 X 被为预正则的。(甚至有预正则性的更直接的定义)。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构,比如度量。我们可以通过设置在 X 上的结构简单的是在 KQ(X) 上的度量来定义一个新结构。有这种在 X 上的明智的结构,它就是伪度量。(伪度量也有更直接的定义)。

在这种方式下,有从性质或结构的要求中去除 T0 性的自然方式。研究 T0 的空间一般要容易些,但让非 T0 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T0 要求。

外部链接[编辑]