柯西–比内公式

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线性代数中,柯西–比内公式Cauchy–Binet formula)将行列式的可乘性(两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积)推广到非方块矩阵。

假设 A 是一个 m×n 矩阵,而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 个元素的子集,我们记 ASA 中列指标位于 S 中的 m×m 子矩阵。类似地,记 BSB 中行指标位于 S 中的 m× m 子矩阵。柯西–比内公式说

\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)\,

这里求遍 { 1, ..., n } 中 m 个元素的所有可能子集 S(共有 C(n,m) 个)。

如果 m = n,即 AB 是同样大小的方块矩阵,则只有一个容许集合 S,柯西–比内公式退化为通常行列式的可乘性。如过 m = 1 则有 n 容许集合 S,这个公式退化为点积。如果 m > n,没有容许集合 S,行列式 det(AB) 是零(参见空和empty sum))。

这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将 AB 的列写成系数来自 BA 的列的线性组合,利用行列式的可乘性,将属于一个 det(AS) 的项收集起来,并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式,得出 det(AS) 的系数是 det(BS)。这个证明没有利用行列式的可乘性,相反这个证明建立了它。

如果 A 是一个实 m×n 矩阵,则 det(A AT) 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体 m-维体积的平方。柯西–比内公式说这等于该平行多面体在所有 m-维坐标平面(共有 C(n,m) 个)的正交投影的平行多面体的 m-维体积的平方之总和。m=1 的情形是关于一条线段的长度,这恰是毕达哥拉斯定理

柯西–比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式。该公式在子式一文给出。

如果 A = \begin{bmatrix}1&1&2\\
3& 1& -1\\
\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{bmatrix} 则柯西-比内公式给出行列式:

\det(AB)=
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}\right|
=-28.

外部链接[编辑]