柯西乘积

在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列 $a_n, b_n$ 的离散卷积。

$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.$

该数列乘积被认为是自然数 $R[\N]$ 的半群环的元素。

级数 [编辑]

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛） $a_n, b_n$ ：

$\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,$

一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式：

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n ,$

这里 $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k},\, n = 0, 1, 2, \ldots$

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。

人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数

$\sum_{n=0}^\infty c_n$

等于如下乘积：

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态（well-behaved）的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。

示例 [编辑]

有穷级数 [编辑]

对于 $i>n$ 、 $i>m$ ，有 $x_i = 0$ ， $y_i = 0$ 即为有穷级数，则 $\sum x$ 和 $\sum y$ 柯西乘积可以展开为 $(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m)$ ，因此可以直接计算乘积。

无穷级数 [编辑]

对某些 $a,b\in\mathbb{R}$ ，构造 $x_n = a^n/n!\,$ 和 $y_n = b^n/n!\,$ ，由定义和二项式展开可知：

$C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}$

形式上， $\exp(a) = \sum x$ ， $\exp(b) = \sum y$ ，我们已表明 $\exp(a+b) = \sum C(x,y)$ 。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 $a,b\in\mathbb{R}$ 有 $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)$

另外一个例子，令 $x(n) = 1$ （ $n\in\mathbb{N}$ ），则 $C(x,x)(n) = n+1$ 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 成立，则柯西乘积 $\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)$ ，该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理 [编辑]

令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数 $\sum y$ 收敛到Y，且级数 $\sum x$ 绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 $\sum C(x,y)$ 收敛到XY。对于两个级数为条件收敛时，结论不成立。例如序列 $x_n = (-1)^n /n$ 是一个条件收敛序列，而 $C(x,x)$ 不收敛到0.

下面是一个证明：

梅尔滕斯定理的证明 [编辑]

令 $X_n = \sum_{i=0}^n x_i$ ， $Y_n = \sum_{i=0}^n y_i$ ， $C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i)$ ，重排后 $C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i}$ 。

则 $C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n$ ，对任意给定的 ε > 0，因为 $\sum x$ 绝对收敛， $\sum y$ 收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N $|Y_n-Y|<\frac{\varepsilon/4}{\sum_{n=0}^\infty |x_n|+1}$ ，和存在一个正整数M，对于所有 $n\geq M$ ，有 $|x_{n-N}|<\frac{\varepsilon}{4N\sup |Y_n-Y|+1}$ （由级数收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 $n\geq L$ ，则 $|X_n-X|<\frac{\varepsilon/2}{|Y|+1}$ 。