柯西乘积

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数学上,以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积,是指两组数列a_n, b_n的离散卷积

c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

该数列乘积被认为是自然数R[\N]的半群环的元素。

级数[编辑]

一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数(不需要收敛a_n, b_n

\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,

一般地,对于实数复数柯西乘积定义为如下的离散卷积形式:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n ,
这里 c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k},\, n = 0, 1, 2, \ldots

“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛,参见形式幂级数

人们希望,通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推,得到无穷级数

\sum_{n=0}^\infty c_n

等于如下乘积:

\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)

就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。

在充分良态well-behaved)的情况下,上述式子成立。而更重要的一点,尽管这两个无穷级数可能不收敛,它们的柯西乘积仍可能存在。

示例[编辑]

有穷级数[编辑]

对于i>ni>m,有x_i = 0y_i = 0 即为有穷级数,则 \sum x\sum y 柯西乘积可以展开为(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\cdots+y_m),因此可以直接计算乘积。

无穷级数[编辑]

  • 对某些a,b\in\mathbb{R},构造x_n = a^n/n!\,y_n = b^n/n!\,,由定义和二项式展开可知:
 C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}

形式上, \exp(a) = \sum x\exp(b) = \sum y,我们已表明\exp(a+b) = \sum C(x,y)。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积,(见下面的证明),因此我们就可证明这个表达式对于 a,b\in\mathbb{R}\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)

  • 另外一个例子,令 x(n) = 1n\in\mathbb{N}),则 C(x,x)(n) = n+1对所有n\in\mathbb{N}成立,则柯西乘积 \sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots) ,该乘积不收敛。

收敛和梅尔滕斯定理[编辑]

x, y为实数数列,弗兰兹·梅尔滕斯(Franz Mertens)提出,如果级数\sum y收敛Y,且级数\sum x绝对收敛X,则他们的柯西乘积  \sum C(x,y)收敛到XY。对于两个级数为条件收敛时,结论不成立。例如序列 x_n = (-1)^n /n是一个条件收敛序列,而C(x,x) 不收敛到0.

下面是一个证明:

梅尔滕斯定理的证明[编辑]

X_n = \sum_{i=0}^n x_iY_n = \sum_{i=0}^n y_iC_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i),重排后C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i}

C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n,对任意给定的 ε > 0,因为\sum x绝对收敛,\sum y收敛,因此存在一个整数N,对于任意nN |Y_n-Y|<\frac{\varepsilon/4}{\sum_{n=0}^\infty |x_n|+1} ,和存在一个正整数M,对于所有 n\geq M ,有|x_{n-N}|<\frac{\varepsilon}{4N\sup |Y_n-Y|+1} (由级数收敛,则式子收敛到0),同样的,存在一个整数L ,如果有 n\geq L,则 |X_n-X|<\frac{\varepsilon/2}{|Y|+1}

因此,对于所有n大于N, M, L,有:

|C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<\varepsilon

根据收敛的定义,即:\sum C(x,y)\to XY.

切萨罗定理[编辑]

如果xy是实数数列,且\sum x\to A\sum y\to B,则有:

\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB.

推广[编辑]

所有上述证明也可推广到\mathbb{C}复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积欧式空间\mathbb{R}^n上。这种情况下,如果两组数列绝对收敛,则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。

与卷积函数的关系[编辑]

我们可以定义柯西乘积为双向无限数列,视为\Z上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如:常数级数1和其本身的柯西乘积,(\dots,1,\dots)

有的有一些配对,比如任何级数与一个有限级数的乘积,\ell^1 \times \ell^\infty的乘积,这与Lp空间有关。