柯西函數方程

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柯西函數方程是以下的函數方程

 f(x+y)=f(x)+f(y) \

此方程的解被稱為加性函數

方程的解[编辑]

有理數的範圍中,可以用簡單的代數得到唯一一類的解,表示為 f(x) = cx \ ,其中c任意給定的有理數。

實數中,這個方程仍然有這一類解,然而存在著其他非常複雜的解,函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如:

  • f連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化,證明 f 只需要在一點連續。
  • f 在任一個區間上是單調
  • f 在任一個區間上是有界

另一方面,如果函數 f 沒有其他限制條件,那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾英语Georg Hamel使用的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數c \ 使得 f(cx) \ne cf(x) \ 的解稱為柯西─哈默方程(英语Cauchy-Hamel function(s))。在希爾伯特的第三個問題中,往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量(英语Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]

在有理數集下的證明[编辑]

先設y = 0 \ ,得到:

 f(x+0) = f(x) + f(0) \
 f(0) = 0 \

再設y = -x \

 f(x-x) = f(x) + f(-x) \
 f(-x) = -f(x) \

反覆設 y = x \  y = 2x \ 、...、 y = x + x + \cdots + x ,可以得到

 f(mx) = m f(x) \ ...(1)

x = \frac{y}{n}並代入(1)式得到:

 f \left( \frac{y}{n} \right) = \frac{1}{n} f(y) \
或者 f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{1}{n} f(x) \ ...(2)

對於任意有理數\frac{m}{n},設y = \frac{m}{n}x ,根據(1)、(2)兩式可知:

 f \left( \frac{m}{n}x \right) = \frac{m}{n} f(x) \

上式又可改寫為

 f \left( \alpha q \right) = q f(\alpha) \qquad \forall q \in \mathbb{Q}, \alpha \in \mathbb{R} \

\alpha = 1 \ 就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質[编辑]

以下的證明將顯示線性函數以外的解(若存在)是相當病態(pathological)英语Pathological (mathematics)的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形y = f(x) \ \mathbb{R}^2稠密,亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點,我們將從這個定義著手證明。

不失一般性,假設解f滿足f(q) = q, \forall q \in \mathbb{Q},且能找到實數\alpha \in \mathbb{R}滿足f(\alpha) \neq \alpha,同時設f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0

任意給定一個圓,其內部必能找到一個小圓以點(x,y)為圓心,其中滿足x,y \in \mathbb{Q}, x \neq y。令實數r > 0為半徑的\frac{2}{\sqrt[]{5}}倍,即半徑為\frac{\sqrt[]{5}r}{2}

\beta = \frac{y - x}{\delta},存在一個有理數b\neq 0滿足:

\left|  \beta - b  \right| < \frac{r}{2 \left|\delta\right|}

類似地,存在一個有理數a使得:

\left|  \alpha - a  \right| < \frac{r}{2\left|b\right|}

設實數X,Y滿足:

X = x + b (\alpha - a) \
Y = f(X)  \

從原方程和以上的關係式可以得知:

 Y = f(x + b (\alpha - a)) \
 = f(x) + f(b \alpha) - f(ba) \
 = x + b f(\alpha) - b f(a) \
 = (y - \delta \beta) + b (\alpha + \delta) - b a \
 = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b) \

由以上關係式可知\left| X-x \right| < \frac{r}{2} , \left| Y-y \right| < r

(X,Y) \ 在指定的小圓內,

於是(X,Y) \ 在原本較大的圓內;

即在\mathbb{R}^2中任意給定的圓內皆包含y=f(x) \ 圖形的一點;

y=f(x) \ 的圖形在\mathbb{R}^2中稠密,得證。

其他解的形式與證明[编辑]

與有理數的情形使用相同的方式,可以證明線性解的證明在任意的集合\alpha \mathbb{Q}上也成立,其中\alpha \in \mathbb{R} (表示所有有理數乘上\alpha \ 的積的集合,以下亦同)
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式具有高度的不可構造性,而且是以選擇公理為基礎得到的。

假定我們承認選擇公理,那麼在\mathbb{Q}上存在一個\mathbb{R}。 意即存在一個集合A \sub \mathbb{R},使得對於任何實數z \ ,存在唯一的有限集合 X = \left\{ x_1,\dots x_n \right\} \sub A 和有理數的數列\left\{ \lambda_i \right\},滿足:

 z= \sum_{i=1}^n { \lambda_i x_i }

設想函數方程在實數集的子集x \mathbb{Q}, x \in A上成立,即滿足f(y) = g(x)\,y,其中 yx 的有理數倍。

運用前面推導的結論,得到對任意實數滿足方程的函數:

 f(z) = \sum_{i=1}^n { g(x_i) \lambda_i x_i }

對於所有g: A\rightarrow \mathbb{R}f(z) \ 是函數方程的解。其中f 為線性的充要條件是 g 是常數函數。

參考資料[编辑]

  1. ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington

外部連結[编辑]