柯西定理 (群論)

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柯西定理是一個在群論裡的定理,以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群p是一個可整除GG的元素數目)的質數,則G會有一個p目的元素。亦即,存在一個於G內的x,使得p為讓xp=e的最小非零整數,其中e單位元素

此一定理為拉格朗日定理的部份相反,其敘述著有限群G的每一個子群之目都會整除G的目。柯西定理表示對於每一個G之目的質因數p,總存在一個Gp目之子群-由柯西定理內之元素產生的循環群

证明[编辑]

我们对n = |G|使用数学归纳法。考虑G阿贝尔群,以及G不是阿贝尔群的两个情况。假设G是阿贝尔群。如果G单群,那么它一定是素数阶循环群,因此显然含有p阶的元素。否则存在一个非平凡的正规子群H \triangleleft G。如果p能整除|H|,那么根据归纳假设,H含有一个p阶的元素,因此G也含有p阶的元素。否则,根据拉格朗日定理p一定能整除指数[G:H],因此根据归纳假设,商群G/H含有一个p阶的元素;也就是说,在G中存在一个x,使得(Hx)p = Hxp = H。那么在H中存在一个元素h1,使得h1xp = 1——G的单位元。容易验证,对于H中的每一个元素a,都存在H中的一个元素b,使得bp = a,因此在H中存在h2,使得h2 p = h1。所以h2x的阶为p,阿贝尔群的情况得证。

假设G不是阿贝尔群,那么它的中心Z是真子群。如果对于某个非中心元素a(也就是说,a不在Z内),p能整除中心化子CG(a)的阶,那么CG(a)就是一个真子群,因此根据归纳假设,它含有一个p阶的元素。否则,根据拉格朗日定理,p一定能整除指数[G:CG(a)],对于所有的非中心a。利用类方程,可知p能整除方程的左端(|G|),因此也能整除右端的所有被加数,除了可能不整除|Z|以外。然而,经过一番计算就可发现,p必须也能整除Z的阶,因此根据归纳假设,中心子群含有一个p阶的元素,因为它是真子群,所以它的阶严格小于G的阶。证毕。

參考[编辑]

  • James McKay. Another proof of Cauchy's group theorem, American Math. Monthly, 66 (1959), pg. 119.

外部連結[编辑]