柯西积分定理

柯西积分定理，是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的很重要的陈述。这个定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。也就是说，设U是C的一个单连通开子集，f : U → C是一个全纯函数，并设γ是U内的一个可求长路径，其起点与终点相同，则

$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.$

U是单连通的条件，意味着U没有“洞”，例如任何一个开圆盘$U=\{ z: |z-z_{0}| < r\}$都符合条件，这个条件是很重要的，考虑以下路径

$\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right]$

它是一个单位圆，则路径积分

$\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i$

不等于零；这里不能使用柯西积分定理，因为f(z) = 1/z在z = 0处没有定义。

该定理的一个重要的结果，是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算：设U是C的一个单连通开子集，f : U → C是一个全纯函数，并设γ是U内的一个分段连续可微分的路径，起点为a，终点为b。如果F是f的一个复数反导数，则

$\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。

参见

• 柯西-黎曼方程
• 柯西积分公式
• 留数

参考文献

• Arfken, G. "Cauchy's Integral Theorem." §6.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.
• Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
• Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 47-60, 1996.
• Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.
• Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 柯西积分定理 at MathWorld