柯西-歐拉方程

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

柯西-歐拉方程是形式如 x^2 y'' + bxy' + cy = 0(其中b,c是常數)的二階常微分方程

解法[编辑]

觀察可知y=x^r是一個特定解:

0 = x^2 y'' + bxy' + cy
= x^2 r(r-1) x^{r-2} + b x r x^{r-1} + c x^r
= (r^2 + (b-1)r + c)x^r

因為x^r = 0若且唯若x=0,所以要考慮二次方程r^2 + (b-1)r + c = 0的解。

r={1\over 2}\left(1-b \pm\sqrt{b^2-2b-4c+1}\right).

p,q為二次方程的解。若p,q不相等,y的一般解則為y= A x^p + B x^q

p=q=(1-b)/2 ,其中一個特定解為x^r \ln{x}

x^2 (x^r \ln{x})'' + bx (x^r \ln{x})' + c x^r \ln{x}
= x^r ( \ln{x} (r^2 + (b-1)r + c) + 2r + b - 1)

代入r=(1-b)/2便知右方括號內等於0。因此核實x^r \ln{x}是一個特定解。

於是,便有兩個線性獨立解,繼而可得:y=Ax^r + B x^r \ln{x}

参见[编辑]