树 (数据结构)

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一棵树

树状图是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

  • 每个节点有零个或多个子节点;
  • 没有父节点的节点称为根节点;
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点;
  • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

术语[编辑]

  1. 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
  2. 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
  3. 叶节点终端节点:度为零的节点;
  4. 非终端节点分支节点:度不为零的节点;
  5. 父亲节点父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
  6. 孩子节点子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
  7. 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
  8. 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  9. 树的高度深度:树中节点的最大层次;
  10. 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
  11. 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
  12. 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
  13. 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的种类[编辑]

  • 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树
  • 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
    • 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
      • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树;
      • 满二叉树:对于上述的完全二叉树,如果去掉其第d层的所有节点,那么剩下的部分就构成一个满二叉树(此时该满二叉树的深度为d-1);
    • 霍夫曼树带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
    • B树

存储[编辑]

父节点表示法[编辑]

存储结构[编辑]

/* 树节点的定义 */
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct
{
  TElemType data;
  int parent; /* 父节点位置域 */
} PTNode;
typedef struct
{
  PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
  int n; /* 节点数 */
} PTree;
Sqll.jpg
A
B
E

H



I



J





C


D

F


G

K





基本操作[编辑]

设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作(参见队列)。

构造空树[编辑]

清空或销毁一个树也是同样的操作

void ClearTree(PTree *T)
{ 
  T->n = 0;
}
构造树[编辑]
void CreateTree(PTree *T)
{ 
  LinkQueue q;
  QElemType p,qq;
  int i=1,j,l;
  char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  printf("请输入根节点(字符型,空格为空): ");
  scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0,%*c吃掉回车符 */
  if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */
  {
    T->nodes[0].parent=-1; /* 根节点无父节点 */
    qq.name=T->nodes[0].data;
    qq.num=0;
    EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */
    while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */
    {
      DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */
      printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name);
      gets(c);
      l=strlen(c);
      for(j=0;j<l;j++)
      {
        T->nodes[i].data=c[j];
        T->nodes[i].parent=qq.num;
        p.name=c[j];
        p.num=i;
        EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */
        i++;
      }
    }
    if(i>MAX_TREE_SIZE)
    {
      printf("节点数超过数组容量\n");
      exit(OVERFLOW);
    }
    T->n=i;
  }
  else
    T->n=0;
}
判断树是否为空[编辑]
Status TreeEmpty(PTree *T)
{ /* 初始条件:树T存在。操作结果:若T为空树,则返回TRUE,否则返回FALSE */
  return T->n==0;
}
获取树的深度[编辑]
int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始条件:树T存在。操作结果:返回T的深度 */
  int k,m,def,max=0;
  for(k=0;k<T->n;++k)
  {
    def=1; /* 初始化本节点的深度 */
    m=T->nodes[k].parent;
    while(m!=-1)
    {
      m=T->nodes[m].parent;
      def++;
    }
    if(max<def)
      max=def;
  }
  return max; /* 最大深度 */
}
获取根节点[编辑]
TElemType Root(PTree *T)
{ /* 初始条件:树T存在。操作结果:返回T的根 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].parent<0)
      return T->nodes[i].data;
  return Nil;
}
获取第i个节点的值[编辑]
TElemType Value(PTree *T,int i)
{ /* 初始条件:树T存在,i是树T中节点的序号。操作结果:返回第i个节点的值 */
  if(i<T->n)
    return T->nodes[i].data;
  else
    return Nil;
}
改变节点的值[编辑]
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value)
{ /* 初始条件:树T存在,cur_e是树T中节点的值。操作结果:改cur_e为value */
  int j;
  for(j=0;j<T->n;j++)
  {
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
    {
      T->nodes[j].data=value;
      return OK;
    }
  }
  return ERROR;
}
获取节点的父节点[编辑]
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果:若cur_e是T的非根节点,则返回它的父节点,否则函数值为"空"*/
  int j;
  for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */
    if(T->nodes[j].data==cur_e)
      return T->nodes[T->nodes[j].parent].data;
  return Nil;
}
获取节点的最左孩子节点[编辑]
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果:若cur_e是T的非叶子节点,则返回它的最左孩子,否则返回"空"*/
  int i,j;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序号为i */
      break;
  for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数,孩子的序号>其父节点的序号 */
    if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数,最左孩子(长子)的序号<其它孩子的序号 */
      return T->nodes[j].data;
  return Nil;
}
获取节点的右兄弟节点[编辑]
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e)
{ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */
  /* 操作结果:若cur_e有右(下一个)兄弟,则返回它的右兄弟,否则返回"空"*/
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序号为i */
      break;
  if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent)
  /* 根据树的构造函数,若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */
    return T->nodes[i+1].data;
  return Nil;
}
输出树[编辑]
void Print(PTree *T)
{ /* 输出树T。加 */
  int i;
  printf("节点个数=%d\n",T->n);
  printf(" 节点 父节点\n");
  for(i=0;i<T->n;i++)
  {
    printf("    %c",Value(T,i)); /* 节点 */
    if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */
      printf("    %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */
    printf("\n");
  }
}
向树中插入另一棵树[编辑]
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c)
{ /* 初始条件:树T存在,p是T中某个节点,1≤i≤p所指节点的度+1,非空树c与T不相交 */
  /* 操作结果:插入c为T中p节点的第i棵子树 */
  int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1,p的孩子数n的初值为0 */
  PTNode t;
  if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */
  {
    for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */
      if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */
        break;
    l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树,则插在j+1处 */
    if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */
    {
      for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */
        if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */
        {
          n++; /* 孩子数加1 */
          if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子,其序号为k1 */
            break;
        }
      l=k+1; /* c插在k+1处 */
    } /* p的序号为j,c插在l处 */
    if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */
      for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */
      {
        T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k];
        if(T->nodes[k].parent>=l)
          T->nodes[k+c.n].parent+=c.n;
      }
    for(k=0;k<c.n;k++)
    {
      T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */
      T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l;
    }
    T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */
    T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */
    while(f)
    { /* 从插入点之后,将节点仍按层序排列 */
      f=0; /* 交换标志置0 */
      for(j=l;j<T->n-1;j++)
        if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent)
        {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后(树没有按层序排列),交换两节点*/
          t=T->nodes[j];
          T->nodes[j]=T->nodes[j+1];
          T->nodes[j+1]=t;
          f=1; /* 交换标志置1 */
          for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */
            if(T->nodes[k].parent==j)
              T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */
            else if(T->nodes[k].parent==j+1)
              T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */
        }
    }
    return OK;
  }
  else /* 树T不存在 */
    return ERROR;
}
删除子树[编辑]
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */
void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i)
{ /* 初始条件:树T存在,p是T中某个节点,1≤i≤p所指节点的度 */
  /* 操作结果:删除T中节点p的第i棵子树 */
  int j,k,n=0;
  LinkQueue q;
  QElemType pq,qq;
  for(j=0;j<=T->n;j++)
    deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */
  pq.name='a'; /* 此成员不用 */
  InitQueue(&q); /* 初始化队列 */
  for(j=0;j<T->n;j++)
    if(T->nodes[j].data==p)
      break; /* j为节点p的序号 */
  for(k=j+1;k<T->n;k++)
  {
    if(T->nodes[k].parent==j)
      n++;
    if(n==i)
      break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */
  }
  if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */
  {
    n=0;
    pq.num=k;
    deleted[k]=1; /* 置删除标记 */
    n++;
    EnQueue(&q,pq);
    while(!QueueEmpty(q))
    {
      DeQueue(&q,&qq);
      for(j=qq.num+1;j<T->n;j++)
        if(T->nodes[j].parent==qq.num)
        {
          pq.num=j;
          deleted[j]=1; /* 置删除标记 */
          n++;
          EnQueue(&q,pq);
        }
    }
    for(j=0;j<T->n;j++)
      if(deleted[j]==1)
      {
        for(k=j+1;k<=T->n;k++)
        {
          deleted[k-1]=deleted[k];
          T->nodes[k-1]=T->nodes[k];
          if(T->nodes[k].parent>j)
            T->nodes[k-1].parent--;
        }
        j--;
      }
    T->n-=n; /* n为待删除节点数 */
  }
}
层序遍历树[编辑]
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件:二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */
  /* 操作结果:层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */
  int i;
  for(i=0;i<T->n;i++)
    Visit(T->nodes[i].data);
  printf("\n");
}

孩子链表表示法[编辑]

存储结构[编辑]

/*树的孩子链表存储表示*/
typedef struct CTNode { // 孩子节点
  int child;
  struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct {
  ElemType data; // 节点的数据元素
  ChildPtr firstchild; // 孩子链表头指针
} CTBox;
typedef struct {
  CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]int n, r; // 节点数和根节点的位置
} CTree;

Hzll.jpg

A
B
E

H



I



J





C


D

F


G

K





森林、树与二叉树的转换[编辑]

二叉树相应章节

参考文献[编辑]