样条插值

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数值分析这个数学分支中,样条插值是使用一种名為样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差,这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象,所以样条插值得到了流行

定义[编辑]

假设有n+1个不同的节点xi

x_0 < x_1 < ... < x_{n-1} < x_n, \,\!

以及n+1个节点值yi,我们要找到一个n阶样条函数


S(x) := \left\{\begin{matrix}
    S_0(x) & x \in [x_0, x_1] \\
    S_1(x) & x \in [x_1, x_2] \\
    \vdots & \vdots \\
S_{n-1}(x) & x \in [x_{n-1}, x_n]
\end{matrix}\right.

其中每个Si(x)都是一个k次的多项式。

样条插值[编辑]

使用多项式插值,对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是,对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的,为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1个自由度

线性样条插值[编辑]

线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接,结果样条是一个多边形

从代数的角度来看,每个Si都是一个如下

S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)

线性函数。 样条在每个数据点都必须连续,即

S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}) \qquad \mbox{ , } i=1,\ldots n -1

我们很容易得到

S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x-x_{i-1}) = y_i
S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i) = y_i

所以以上论述成立。

二次样条插值[编辑]

二次样条插值可以构建为


S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2

通过选择z_0,然后用递推关系就可以得到系数


z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}

三次样条插值[编辑]

对于n+1个给定点的数据集{xi},我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果

S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1] \\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\  S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.

表示对函数f进行插值的样条函数,那么需要:

  • 插值特性,S(xi)=f(xi)
  • 样条相互连接,Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1
  • 两次连续可导,S'i-1(xi) = S'i(xi)以及S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1.

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状,所以对于组成Sn个三次多项式来说,这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。但是,插值特性只给出了n + 1个条件,内部数据点给出n + 1 − 2 = n − 1个条件,总计是4n − 2个条件。我们还需要另外两个条件,根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定uv钳位三次样条,

 S'(x_0) = u \,\!
 S'(x_k) = v \,\!

另外,我们可以设

S''(x_0) = S''(x_n) = 0 \,\!.

这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中,钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。

如果选择另外一些条件,

 S(x_0) = S(x_n) \,\!
 S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
 S''(x_0) = S''(x_n) \,\!

可以得到周期性的三次样条。

如果选择,

 S(x_0) = S(x_n) \,\!
 S'(x_0) = S'(x_n) \,\!
 S''(x_0) = f'(x_0),\quad S''(x_n)=f'(x_n) \,\!

可以得到complete三次样条。

三次样条的最小性[编辑]

三次样条有另外一个非常重要的解释,实际上它是在索伯列夫空间H^2([a; b])最小化泛函

J(f)=\int_a^b |f''(x)|^2 dx

的函数。

泛函J包含对于函数f(x)全部曲率\left|\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right|的近似,样条是f(x)最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例,所以样条是受到n个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

使用自然三次样条的插值[编辑]

它可以定义为


S_i(x) = \frac{z_{i+1} (x-x_i)^3 + z_i (x_{i+1}-x)^3}{6h_i}
       + \left(\frac{y_{i+1}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_{i+1}\right)(x-x_i)
       + \left(\frac{y_{i}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_i\right)(x_{i+1}-x)

以及


h_i = x_{i+1} - x_i \,\!.

通过解下面的方程可以得到它的系数。


\left\{\begin{matrix}
       z_0 = 0 \\

       h_{i-1}            z_{i-1}
       + 2(h_{i-1} + h_i) z_i
       + h_i              z_{i+1}

 = 6 \left(
           \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} -
           \frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}
           \right) \\

       z_n = 0
\end{matrix}\right.

示例[编辑]

线性样条插值[编辑]

假设要为带有节点

 (x_0,f(x_0)) = (x_0,y_0) = \left(-1,\ e^{-1}\right) \,\!
 (x_1,f(x_1)) = (x_1,y_1) = \left(-\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!
 (x_2,f(x_2)) = (x_2,y_2) = \left(0,\ 1\right) \,\!
 (x_3,f(x_3)) = (x_3,y_3) = \left(\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!
 (x_4,f(x_4)) = (x_4,y_4) = \left(1,\ e^{-1}\right) \,\!

的函数

f(x) = e^{-x^2}

找一个线性样条。直接代入样条公式,我们得到如下样条:


S(x) = \left\{\begin{matrix}
e^{-1} + 2(e^{-\frac{1}{4}} - e^{-1})(x+1) &  x \in [-1, -\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(1-e^{-\frac{1}{4}})(x+\frac{1}{2})  &  x \in [-\frac{1}{2},0] \\
1 + 2(e^{-\frac{1}{4}}-1)x &  x \in [0,\frac{1}{2}] \\
e^{-\frac{1}{4}} + 2(e^{-1} - e^{-\frac{1}{4}})(x-\frac{1}{2}) &  x \in [\frac{1}{2},1] \\
\end{matrix}\right.

样条函数(蓝线)以及所近似的函数(红点)如下图所示:

Linearspline.png

二次样条插值[编辑]

下图是一个k=4的样条函数(蓝线)与所近似的函数(红线)的例子:

Quadraticspline jaredwf.png

参见[编辑]