核 (代数)

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在归入线性代数的各种数学分支中,同态测量同态不及于单射的程度。

核的定义在不同上下文中采用不同的形式。但是在所有形式中,同态的核是平凡的(在与那个上下文有关的意义上),当且仅当这个同态是单射。同态基本定理(或第一同构定理)是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理。

例子纵览[编辑]

线性算子[编辑]

VW向量空间并设 T 是从 VW线性变换。如果0WW零向量,则 T 的核是单元素集合 {0W} 的前像;就是说 V 的由被 T 映射到元素 0W 的那些 V 的元素构成的子集。核通常指示为“ker T”,或者:

 \mathop{\mathrm{ker}}\, T := \{\mathbf{v} \in V : T\mathbf{v} = \mathbf{0}_{W}\}\mbox{.} \!

因为线性变换保持零向量,V 的零向量0V 必须属于核。变换 T 是单射的,当且仅当它的核只是单元素集合 {0V}。

ker T 显然总是 V子空间。因此,它使谈论商空间 V/(ker T) 有意义。对向量空间的第一同构定理声称这个商空间自然同构T(它是 W 的子空间)。作为结论,V维度等于核的维度加上像的维度。

如果 VW 是有限维的向量空间,并且已经选择好了,则 T 可以用矩阵 M 描述,而这个核可以通过解齐次线性方程组 Mv = 0 来计算。在这种表示中,核对应于 M零空间。零空间的维度叫做 M 的零化度(nullity)由 M 的纵列数减去 M得到,这是秩-零化度定理的结论。

齐次微分方程经常涉及计算特定微分算子的核。例如,为了找到从实数轴到自身的所有二次可微函数 f 使得

x'f''(x) + 3f(x) = f(x),

V 是二次可微函数的空间,设 W 是所有函数的空间,定义从 VW 的线性算子 T

(T''f)(x) = x'f''(x) + 3f(x) - f(x)

对于在 V 中的 fx 是任意实数。这个微分方程的所有解都在 ker T 中。

你可以用类似方式定义在环之上的之间的同态的核。这包括了在阿贝尔群之间的同态的核作为特殊情况。这个例子捕捉了在一般阿贝尔范畴内的核的本质;参见核 (范畴论)

群同态[编辑]

GH并设 f 是从 GH群同态。如果 eHH单位元,则 f 的核是单元素集合 {eH} 的前像;就是说,G 的由被 f 映射到元素 eH 的所有 G 的元素构成的子集。核通常指示为“ker f”。或者:

 \mathop{\mathrm{ker}} f := \{g \in G : f(g) = e_{H}\}\mbox{.} \!

因为群同态保持单位元素,G 的单位元素 eG 必须属于这个核。同态 f 是单射,当且仅当它的核只是单元素集合{eG}。

ker f 明显不只是 G子群,实际上还是正规子群。因此它使谈论商群 G/(ker f) 有意义。群的第一同构定理声称这个商群自然同构f(它是 H 的子群)。

阿贝尔群的特殊情况下,这以同前面章节的完全同样的方式工作。

环同态[编辑]

幺半群同态[编辑]

泛代数[编辑]