核 (线性算子)

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线性代数泛函分析中,一个线性算子 Lkernel)是所有使 L(v) = 0 的运算对象。这就是如果 L: VW,则

\ker(L) = \left\{ v\in V : L(v)=0 \right\}\text{,}

这里 0 表示 W 中的零向量L 的核是定义域 V 的一个线性子空间

一个线性算子 RmRn 的核与对应的 n × m 矩阵零空间相同。有时一个一般线性算子的核也称为这个算子的零空间null space)。

例子[编辑]

  1. 如果 L: RmRn,则 L 的核是一个齐次线性方程组的解集。例如,如果 L 是算子:
L(x_1,x_2,x_3) = (2x_1 + 5x_2 - 3x_3,\; 4x_1 + 2x_2 + 7x_3)

L 的核是方程组

\begin{alignat}{7}
 2x_1 &&\; + \;&& 5x_2 &&\; - \;&& 3x_3 &&\; = \;&& 0 \\
 4x_1 &&\; + \;&& 2x_2 &&\; + \;&& 7x_3 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}

的解集。

  1. C[0,1] 表示区间 [0,1] 上所有连续实值函数组成的向量空间,定义 L: C[0,1]→ R
L(f) = f(0.3)\text{.}\,

L 的核由所有使得 f(0.3) =0 的函数 fC[0,1]。

  1. C(R) 是所有无穷可微函数 RR 的向量空间,并设 D: C(R) → C(R) 是微分算子
D(f) = \frac{df}{dx}\text{.}

D 的核由 C(R) 中所有导数都是零的函数组成,即常值函数

  1. R 是无穷个 R直和,并设 s: RR移位算子Shift operator
s(x_1,x_2,x_3,x_4,\ldots) = (x_2,x_3,x_4,\ldots)\text{.}

s 的核是由所有向量 (x1, 0, 0, ...) 组成的一维子空间。注意 s映上的,却有非平凡的核。

  1. 如果 V 是一个内积空间W 是一个子空间,正交投影 VW 的核是 WV 中的正交补


性质[编辑]

如果 L: VW,则 V 中两个元素在 W 中有相同的当且仅当它们的差在 L 的核中:

L(v) = L(w)\;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\;L(v-w)=0\text{.}

从而 L 的像同构V 被这个核的商空间

\text{im}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}

V 是有限维的,这蕴含着秩-零化度定理

\dim(\ker L) + \dim(\text{im}\,L) = \dim(V)\text{.}\,

V 是一个内积空间是,商 V / ker(L) 可以与 ker(L) 在 V 中的正交补等同。这是一个矩阵的行空间的线性算子的推广。

泛函分析中的核[编辑]

如果 VW拓扑向量空间(且 W 是有限维的),则一个线性算子 L: VW连续的当且仅当 L 的核是 V 的一个子空间。

相关条目[编辑]