根系

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數學中,根系歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群李代數代數群理論中格外重要;而根系分類的主要工具──鄧肯圖,也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。

定義[编辑]

V 為有限維實向量空間,並賦予標準的內積 (,)V 中的根系是有限個向量(稱為)構成的集合 \Phi,滿足下述條件:

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件,在每條線上,其間交角只有兩種可能。
  1. \Phi 的元素張出 V
  2. 對任一 \alpha \in \Phi,其屬於 \Phi 的純量倍數只有 \pm \alpha
  3. 對任意 \alpha \in \Phi,集合 \Phi 在對 \alpha 的反射之下不變。在此的反射是指
    \sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi.
  4. (整性)若 \alpha, \beta \in \Phi,則 \beta\alpha 方向的投影乘以2是 \alpha 的整數倍,即:
     \langle \beta, \alpha \rangle := 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z},

根據性質三,整性等價於:對任意 \alpha,\beta \in \Phi\sigma_\alpha(\beta)\beta 僅差 \alpha 的整數倍。此外,注意到性質四定義的尖積

 \langle \cdot, \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}

並非一個內積,它未必對稱,而且只對第一個參數是線性的。

根系 \Phi定義為 V 的維度。

給定兩個根系 (V,\Phi), (W, \Psi),可考慮其正交直和 V \oplus W,則 \Phi \sqcup \Psi 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合(當然,假設 V, W \neq \{0\}),則稱之為不可約的。

對兩個根系 (E_1, \Phi_1), (E_2, \Phi_2),若存在其間的線性同構,使得 \Phi_1 映至 \Phi_2,則稱它們為同構的根系。

對於根系 (V, \Phi),對根的反射生成一個群,稱為該根系的外爾群。可證明此群在 \Phi 上忠實地作用,因此必為有限群。

秩一與秩二的例子[编辑]

在同構的意義下,秩一的根系僅有一種,由兩個非零向量 \pm \alpha 組成。此根系記作 A_1

秩二的根系有四種,圖解如下:

秩二之根系
根系 A1×A1 根系 A2
根系 A1×A1
Dyn-node n1.pngDyn-2.pngDyn-node n2.png
根系 A2
Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png
根系 B2 根系 G2
根系 B2
Dyn-node n1.pngDyn-4a.pngDyn-node n2.png
根系 G2
Dyn-node n1.pngDyn-6a.pngDyn-node n2.png

\PhiV 中的根系,而 W\Psi = \Phi \cap WW 中生成的子空間,則 \PsiW 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係,例如:任意兩根的交角僅可能是 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150180 度。

正根與單根[编辑]

對於根系 \Phi,可以取定滿足下述條件的正根子集 \Phi^+

  • 對每個根 \alpha\in\Phi\alpha, -\alpha 中恰有一者屬於 \Phi^+
  • 對任意 \alpha, \beta\in \Phi^+,若 \alpha+\beta \in \Phi,則 \alpha+\beta \in \Phi^+

正根的取法並不唯一。取定一組正根後,-\Phi^+ 的元素被稱為負根

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 \Phi 中滿足下述條件的子集 \Delta

任意 \Phi 中的元素皆可唯一地表成 \Delta 中元素的整係數線性組合,而且其係數或者全大於等於零,或者全小於等於零。

選定一組單根後,可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系[编辑]

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題,由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下:

給定一個不可約根系,選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 \alpha, \beta 若不垂直,則有 \langle \alpha, \beta \rangle \cdot \langle \beta, \alpha \rangle 個邊相連:若只有一個邊,則不取定向,否則則取自長度 (\alpha, \alpha) 長者(稱為長根)指向短者(稱為短根)的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而,由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的,鄧肯圖的構造與單根的選取無關,它是根系內在的不變量。反之,給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系,可以按圖配對單根及其間的內積,從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一,但至多差一個正常數倍,因而得到的根系是同構的 。

藉此,可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系,則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的;配上這個條件後,即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數,亦即相應根系的秩。

連通鄧肯圖一覽

不可約根系的性質[编辑]

\Phi |\Phi| |\Phi^{<}| I |W|
An (n≥1) n(n+1)   n+1 (n+1)!
Bn (n≥2) 2n2 2n 2 2n n!
Cn (n≥3) 2n2 2n(n−1) 2 2n n!
Dn (n≥4) 2n(n−1)   4 2n−1 n!
E6 72   3 51840
E7 126   2 2903040
E8 240   1 696729600
F4 48 24 1 1152
G2 12 6 1 12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系:A_n, B_n, C_n, D_n,其下標分別取遍 n \geq 1,2,3,4 的正整數,稱為典型根系;剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中, |\Phi^{<}| 表示短根的個數(若諸根同長,則皆視為長根),I 表示其嘉當矩陣行列式,而 |W| 表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述[编辑]

An[编辑]

V\mathbb{R}^{n+1} 中滿足 \sum_{i=1}^n x_i = 0 的點 (x_1, \ldots, x_n) 所成之子空間。令 \PhiV 中長度為 \sqrt{2} 的格子點。取 \mathbb{R}^{n+1} 的標準基 e_1, \ldots, e_{n+1},則根具有 e_i-e_j \; (i \neq j) 的形式,共有 n(n+1) 個根。通常取單根為 \alpha_i := e_i - e_{i+1}

對垂直於 \alpha_i超平面的鏡射在 \Phi 上的作用是交換第 i, i+1 個座標。因此 A_n 的外爾群不外就是對稱群 S_{n+1}

A_n 是李代數 \mathfrak{sl}(n+1, \mathbb{C}) 的根系。

Bn[编辑]

B4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   1

V = \mathbb{R}^n,並令 \PhiV 中長度為 1, \sqrt{2} 的格子點。共有 2n^2 個根。通常取單根為 \alpha_i = e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)\alpha_n := e_n(短根)。

對短根 \alpha_n 的反射即 (x_1, \ldots, x_n) \mapsto (x_1, \ldots, -x_n)

B_1A_1 僅差一個縮放,因此通常僅考慮 n \geq 2 的情形。B_n 是李代數 \mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C}) 的根系。

Cn[编辑]

C4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   2

V = \mathbb{R}^n\PhiV 中所有長度 \sqrt{2} 的格子點與形如 2\lambda的點,其中 \lambda 是長度為一的格子點。共有 2n^2 個根。通常取單根為 \alpha_i := e_i - e_{i+1} \; (1 \leq i < n)\alpha_n := 2e_n(長根)。

C_2B_2 僅差一個縮放加上旋轉 45 度,因此通常僅考慮 n \geq 3 的情形。C_n 是李代數 \mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C}) 的根系。

Dn[编辑]

D4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 1   1

V := \mathbb{R}^n\PhiV 中長度 \sqrt{2} 的格子點。共有 2n(n-1) 個根。通常取單根為 \alpha_i = e_i - e_{i+1}, \; (1 \leq i < n)\alpha_n = e_n + e_{n-1}

D_3 同構於 A_3,故通常僅考慮 n \geq 4 的情形。D_3 是李代數 \mathfrak{so}(2n,\mathbb{C}) 的根系。

E8, E7, E6[编辑]

E_8 是較為特殊的根系。首先定義 \mathbb{R}^8 中滿足下述條件的點集 \Gamma_8

  • 各座標均為整數,或均為半整數(不容相混)。
  • 八個座標的和為偶數。

定義 E_8\Gamma_8 中長度為 \sqrt{2} 的向量,即:

 \{ \alpha \in \mathbb{Z}^8 \sqcup (\mathbb{Z}+\frac{1}{2})^8 : |\alpha|^2 = 2, \; \sum \alpha_i \in 2\mathbb{Z} \}

定義 E_7E_8 與超平面 \{x : (x,\alpha)=0 \} 之交, 其中 \alpha \in E_8 是任取的根。同樣步驟施於 E_7,得到更小的根系 E_6。根系 E_6, E_7, E_8 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟,則會得到典型根系 D_5, A_4

E8:偶坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
 ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½

另一種等價的描述是取 \Gamma'_8 為:

  • 各坐標均為整數,而且其和為偶數;或
  • 各坐標均為半整數,而且其和為奇數。

\Gamma_8\Gamma'_8 同構。將任意偶數個座標乘以負一,便可在兩者間轉換。\Gamma_8 稱為 E_8 的偶坐標系,\Gamma'_8 稱為奇坐標系。

在偶坐標下,通常取單根為

 \alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 6)
\alpha_7 := e_7 + e_6
\alpha_8 = \beta_0 = \frac{\sum_{i=1}^8 e_i}{2}
E8:奇坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1
 ½  ½  ½

在奇坐標下,通常取單根為

\alpha_i := e_i - e_{i+1} \quad (1 \leq i \leq 7)
 \alpha_8 := \beta_5,其中
\beta_j := \frac{-\sum_{i=1}^j e_i + \sum_{i=j+1}^8 e_i}{2}

(在上述定義中,若改取 \beta_3,將得到同構的結果。若改取 \beta_1, \beta_7, \beta_2, \beta_6,將得到 A_8D_8。至於 \beta_4,其坐標和為零,而 \alpha_1, \ldots, \alpha_7 亦然,所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去 \alpha_1 可得到 E_7 的一組單根;再刪去 \alpha_2,可得 E_6 的單根。

由於對 \alpha_1 垂直等價於前兩個坐標相等,而對 \alpha_1, \alpha_2 垂直等價於前三個座標相等,不難導出 E_7, E_6 的明確定義:

E7 = (αZ7 ∪ (Z+½)7:αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (αZ6 ∪ (Z+½)6:αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4[编辑]

F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0

對於 F_4,取 V=\mathbb{R}^4,並令 \Phi 為滿足下述條件的向量:

  • |\alpha| = 1, \sqrt{2}
  • 2\alpha 各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有 48 個根。通常取單根為 B_3 的單根再加上 \alpha_4 = -(\sum_{i=1}^4 e_i)/2

G2[编辑]

G2
1  -1   0
-1 2 -1

G_2 有 12 個根,構成一個六邊形的頂點,詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

  • \alpha_1
  • \beta := \alpha_2 - \alpha_1

在此沿用了之前的符號: \alpha_i := e_i - e_{i+1}, \; (i=1,2)

根系與李群、李代數[编辑]

不可約根系的分類可用於研究下述對象:

文獻[编辑]

  • Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271 .
  • Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59--127.

參見[编辑]