根資料

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數學代數群領域中,根資料(原文為法文 donnée radicielle)是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群,根資料是比根系更精細的不變量,若假設連通性,則它決定了代數群的結構(至多差一個同構)。根資料的定義首見於 M. Demazure 在 SGA III 中的闡述,於1970年出版。

定義[编辑]

根資料是一組資料 (X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee),其中:

  • X, X^\vee 是有限秩自由阿貝爾群,其間有一個配對 \langle , \rangle : X \times X^{\vee} \rightarrow \mathbf{Z} 使兩者互為對偶。
  • \PhiX 的有限子集,\Phi^\veeX^\vee 的有限子集,並存在其間的雙射 \alpha \mapsto \alpha^{\vee}
  • 對任意 \alpha \in \Phi,有 \langle \alpha, \alpha^\vee \rangle = 2
  • 對任意 \alpha \in \Phi根鏡射 x \mapsto x - \langle x,\alpha^{\vee} \rangle \alpha 導出根資料的自同構(換言之:它將 \Phi 一一映至 \Phi,而在 X^\vee 上導出的對偶映射則將 \Phi^\vee 一一映至 \Phi^\vee)。
  • 類似地,對任意 \alpha^\vee \in \Phi^\vee餘根鏡射 u \mapsto u - \langle \alpha,u \rangle \alpha^\vee 導出根資料的自同構。

\Phi 的元素稱作該根資料的\Phi^\vee 的元素稱為餘根

\Phi 不包含任意根的兩倍,則稱此根資料為既約的。

X_0 := (\Phi^\vee)^\perp。若 X_0 = \{0\},稱此根資料為半單的,

從根資料到根系[编辑]

對於根資料 (X,\Phi,X^\vee, \Phi^\vee),取 Q\PhiX 中生成的子群,並設 V := Q \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R};利用對偶性,同樣可定義 V^\vee。可證明 X_0 \cap Q = \{0\}X_0 + QX 中的指數為有限的;因此 V^\vee 可視為 V 的對偶空間。可證明 (V, \Phi) 成為一個根系

與約化代數群的關係[编辑]

G 是域 K 上的約化代數群,並具有在 K 上分裂的極大環面 T。定義相應的根資料 \Phi(T,B) = (X,\Delta,X_*, \Delta^\vee)

  • X^* := \mathrm{Hom}(T,\mathbb{G}_m)(極大環面的特徵標
  • X_* := \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, T)(極大環面的餘特徵標,或者說是其中的單參數子群
  • \Delta 是資料 (G,T) 的根。
  • \Delta^\vee 是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之,給定任一組根資料,存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系丹金圖精確,因為它不僅刻劃了群的李代數結構,還刻劃了群的中心。

對偶性[编辑]

給定任一根資料 (X, \Psi, X^\vee, \Psi^\vee),藉著將 X, X^\vee 對換,將 \Psi,\Psi^\vee 對換,可以得到新的根資料,稱為其對偶。

G 是代數封閉域 K 上的連通、約化代數群,則根資料的對偶決定了複數域 \mathbb{C} 上唯一的連通、約化、分裂代數群 LG,稱為 G郎蘭茲對偶群

文獻[编辑]