格尔丰德-施奈德定理

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格尔丰德-施奈德定理(Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明,它回答了希尔伯特第七问题

表述[编辑]

如果α和β是代数数,其中α≠0且≠1,且β不是有理数,那么任何\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}的值一定是超越数

评论[编辑]

  • \alpha\beta不限于实数;它们可以是复数
  • 一般地,\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}多值的,其中“log”表示复数对数
  • 该定理的一个等价的表述是:如果\alpha\gamma是非零的代数数,那么(\log \gamma)/(\log \alpha)要么是有理数,要么是超越数。
  • 如果没有\beta是代数数的限制,这个定理就不一定成立。例如,如果\alpha=3\beta=\log 2/\log 3,那么\alpha^{\beta}=2,它是代数数。

定理的应用[编辑]

利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:

参见[编辑]

参考文献[编辑]