格尔丰德－施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。

表述

如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何$\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}$的值一定是超越数。

评论

• $\alpha$和$\beta$不限于实数；它们可以是复数。
• 一般地，$\alpha^{\beta} = \exp \{\beta \log \alpha\}$是多值的，其中“log”表示复数对数。
• 该定理的一个等价的表述是：如果$\alpha$和$\gamma$是非零的代数数，那么$(\log \gamma)/(\log \alpha)$要么是有理数，要么是超越数。
• 如果没有$\beta$是代数数的限制，这个定理就不一定成立。例如，如果$\alpha=3$，$\beta=\log 2/\log 3$，那么$\alpha^{\beta}=2$，它是代数数。

定理的应用

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

• $2^{\sqrt{2}}$（格尔丰德-施奈德常数）和$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$。
• $e^{\pi}$（格尔丰德常数），以及e^-π/2=iⁱ（这是因为$e^{\pi} = e^{-i\,\log (-1)}$是$(-1)^{-i}$的值之一）。

参见

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
• 埃里克·韦斯坦因, Gelfond-Schneider Theorem at MathWorld