格尔斯滕哈伯代数

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定义[编辑]

\;V\;数域 \; k\; 上的一个分次向量空间\;V\; 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 (V,\bullet,[\;,\;]),满足以下关系:

  1. \;(V,\bullet)\;\; k\; 上的分次、交换、结合的代数
  2. \;(V,[\;,\;])\;是李括号次数为 -1 的分次李代数
  3. 李括号对其两个变元都是乘积 \;\bullet\;导子,即对任给 a,b,c\in V
[a,b\bullet c]=[a,b]\bullet c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\bullet [a,c].

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数(braid algebra)。

例子[编辑]

下面是一些Gerstenhaber代数的例子,因为构造都比较复杂,因此只列出结果,有兴趣的读者可以参考所给文献资料:

  1. \;\mathfrak g\;是一个李代数,记\;\Lambda\mathfrak g\;为其所对应的链复形,则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构,乘法由外积给出,李括号为从\;\mathfrak g\;上诱导的李括号给出(这是一个比较平凡的例子,因此一般人并不重点讨论,但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要);
  2. \;A\;是数域\;k\;上的结合代数,Gerstenhaber证明:\;A\;霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数[1]
  3. \;D\;little disks operad,Cohen证明:\;D\;的同调群形成一个Gerstenhaber代数[2]
  4. Lian和Zuckerman证明了,在弦理论的背景(background,指从弦理论里面抽象出来的代数结构)中,存在一个Gerstenhaber代数结构[3]
  5. \;M\;是一个紧致光滑的流形,\;LM\;是它的自由环路空间(free loop space)。Chas和Sullivan证明:\;LM\;的同调群形成一个Gerstenhaber代数[4]

历史[编辑]

Gerstenhaber代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系,Gerstenhaber证明,Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数,并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦(Kodaira)-Spencer关于流形复结构形变研究的启发,这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在上面后4个例子中,例2和例3是1990年代之前发现的,1993年,Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的,用数学语言表述,即:对任何一个结合代数,其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想,最后由Kontsevich-Soibelman[5],McClure-Smith[6],Tamarkin[7]和Voronov[8]等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具,而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系,因而引起了很多人的兴趣。

稍后,在1997年,Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文[4],发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究,从而开辟了一门崭新的学科。

最后,需要补充的是,关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数(简称BV代数)的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数,往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到,如[3][4]

参考资料[编辑]

  1. ^ Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
  2. ^ Cohen, F.R., The homology of \;C_{n+1}\;-spaces,\;n\ge 1\;, in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.
  3. ^ 3.0 3.1 Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
  5. ^ Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
  6. ^ McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
  7. ^ Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
  8. ^ Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.