格拉姆矩阵

在线性代数中，内积空间中一族向量 $v_1,\dots, v_n$ 的格拉姆矩阵（Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian）是内积的对称矩阵，其元素由 $G_{ij}=(v_i|v_j)$ 给出。

一个重要的应用是计算线性无关：一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（Jørgen Pedersen Gram）命名。

例子

最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L² 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数（是 L ²（[a, b]）的子集）。

给定区间 $[t_0,t_f]$ 上的实值函数 $\{\ell_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}$，格拉姆矩阵$G=[G_{ij}]$，由函数的标准内积给出：

$G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} \ell_i(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau.$

给定一个实矩阵 A，矩阵 A^TA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AA^T 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 $v_1,\dots, v_n$ 定义一个格拉姆矩阵 G 为 $G_{i,j} = B(v_i,v_j) \,$ 。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

应用

• 如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
• 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。
• 在控制论（或更一般的系统理论中），可控性格拉姆矩阵（controllability Gramian）与可观测性格拉姆矩阵（observability Gramian）确定了线性系统的性质。
• 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 Jamshidian & Bentler (1993)）。
• 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。

性质

半正定

格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。

这个命题无穷维类比是 Mercer 定理（Mercer's theorem）。

基变换

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 P^TGP。

格拉姆行列式

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式：

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.$

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。

外部链接

• Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement, 18. 1993:  79 - 94 

• Barth, Nils. The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra. Journal of Young Investigators. 1999, 2. 

• Volumes of parallelograms by Frank Jones