格拉姆矩阵

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线性代数中,内积空间中一族向量 v_1,\dots, v_n格拉姆矩阵Gramian matrix 或 Gram matrix, Gramian)是内积对称矩阵,其元素由 G_{ij}=(v_j|v_i) 给出。

一个重要的应用是计算线性无关:一族向量线性无关当且仅当格拉姆行列式(格拉姆矩阵的行列式)不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆Jørgen Pedersen Gram)命名。

例子[编辑]

最常见地,向量是欧几里得空间中元素,或 L2 空间中函数,比如闭区间 [ab] 上的连续函数(是 L 2([ab])的子集)。

给定区间 [t_0,t_f] 上的值函数 \{\ell_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\},格拉姆矩阵G=[G_{ij}],由函数的标准内积给出:

G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} \ell_i(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau.

给定一个实矩阵 A,矩阵 ATAA 的列向量的格拉姆矩阵,而矩阵 AATA 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何上的有限维向量空间上的双线性形式 B,我们可对一组向量 v_1,\dots, v_n 定义一个格拉姆矩阵 GG_{i,j} = B(v_i,v_j) \, 。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

应用[编辑]

性质[编辑]

半正定[编辑]

格拉姆矩阵是半正定的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的:任何正交基的格拉姆矩阵是恒同矩阵。

这个命题无穷维类比是 Mercer 定理Mercer's theorem)。

基变换[编辑]

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下,格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP

格拉姆行列式[编辑]

格拉姆行列式Gram determinant 或 Gramian)是格拉姆矩阵的行列式:

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
 (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
 (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.

在几何上,格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地,这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零(当且仅当格拉姆矩阵非奇异)。

外部链接[编辑]

  • Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement, 18. 1993:  79 - 94