格拉姆-施密特正交化

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

线性代数中,如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基,并可进一步求出对应的标准正交基

这种正交化方法以Jørgen Pedersen GramErhard Schmidt命名,然而比他们更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解Iwasawa decomposition)。

数值计算中,Gram-Schmidt正交化是数值不稳定的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换Givens旋转进行正交化。

记法[编辑]

基本思想[编辑]

图1 \boldsymbol{v}\boldsymbol{V}^2上投影,构造\boldsymbol{V}^3上的正交基\boldsymbol{\beta}

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V^n}\boldsymbol{V}^k\boldsymbol{V}^n上的k维子空间,其标准正交基为\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_k \},且\boldsymbol{v}不在\boldsymbol{V}^k上。由投影原理知,\boldsymbol{v}与其在\boldsymbol{V}^k上的投影\mathrm{proj}_{\boldsymbol{V^k}} \boldsymbol{v}之差


 \boldsymbol{\beta} 
 = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\eta}_i}\,\boldsymbol{v}
 = \boldsymbol{v} - \sum_{i=1}^{k}\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i


是正交于子空间\boldsymbol{V}^k的,亦即\boldsymbol{\beta}正交于\boldsymbol{V}^k的正交基\boldsymbol{\eta}_i。因此只要将\boldsymbol{\beta}单位化,即


\boldsymbol{\eta}_{k+1} 
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|} 
= \frac{\boldsymbol{\beta}}{\sqrt{\langle \boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\beta} \rangle }}

那么\{ \boldsymbol{\eta}_1,\ldots, \boldsymbol{\eta}_{k}, \boldsymbol{\eta}_{k+1} \}就是\boldsymbol{V}^k\boldsymbol{v}上扩展的子空间\mathrm{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{\eta}_1,...,\boldsymbol{\eta}_k\}的标准正交基。

根据上述分析,对于向量组\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{m} \}张成的空间\boldsymbol{V}^m (m<n),只要从其中一个向量(不妨设为 \boldsymbol{v}_1 )所张成的一维子空间 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} 开始(注意到 \boldsymbol{v}_1 就是 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1\} 的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到\boldsymbol{V}^n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化

算法[编辑]

首先需要确定已有基底向量的顺序,不妨设为\{ \boldsymbol{v}_1,\ldots, \boldsymbol{v}_{n} \}。Gram-Schmidt正交化的过程如下:

\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{\eta}_1 = {\boldsymbol{\beta}_1 \over \|\boldsymbol{\beta}_1\|}
\boldsymbol{\beta}_2 
         = \boldsymbol{v}_2-\langle \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2 = {\boldsymbol{\beta}_2 \over \|\boldsymbol{\beta}_2\|}
\boldsymbol{\beta}_3 
            = \boldsymbol{v}_3 -
              \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_1 \rangle \boldsymbol{\eta}_1 -
              \langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{\eta}_2 \rangle \boldsymbol{\eta}_2 , 
     \boldsymbol{\eta}_3 = {\boldsymbol{\beta}_3 \over \|\boldsymbol{\beta}_3\|}
\vdots \vdots
\boldsymbol{\beta}_n = \boldsymbol{v}_n-\sum_{i=1}^{n-1}\langle \boldsymbol{v}_n, \boldsymbol{\eta}_i \rangle \boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\eta}_n = {\boldsymbol{\beta}_n\over\|\boldsymbol{\beta}_n\|}

这样就得到\mathrm{span}\{ \boldsymbol{v}_1, \ldots , \boldsymbol{v}_n \}上的一组正交基\{ \boldsymbol{\beta}_1, \ldots , \boldsymbol{\beta}_n \},以及相应的标准正交基\{ \boldsymbol{\eta}_1, \ldots , \boldsymbol{\eta}_n \}


考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合,欧氏空间上内积的定义为<a, b> = bTa

S = \lbrace\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\rbrace.

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:

\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{v}_2-\mathrm{proj}_{\boldsymbol{\beta}_1}\,\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}-\mathrm{proj}_{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

下面验证向量\boldsymbol{\beta}_1\boldsymbol{\beta}_2的正交性:

\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

将这些向量单位化:

\boldsymbol{\eta}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\boldsymbol{\eta}_2 = {1 \over \sqrt {8 \over 5}}\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}

于是\{ \boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_{2} \}就是 \mathrm{span}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2 \} 的一组标准正交基底。

不同的形式[编辑]

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:

\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^T \boldsymbol{a}

在复向量空间上,内积定义为:

\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \boldsymbol{b}^H \boldsymbol{a}

函数之间的内积则定义为:

\langle f(x), g(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x) dx

与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

参见[编辑]