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格拉斯曼數

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數學物理學中,格拉斯曼數(又稱反交換數)是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。

性質[编辑]

各格拉斯曼變數\theta_i均與代數的實數元無關,它們之間互成反交換關係,但與一般數x間則為交換關係:

\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x = x \theta_i

需要注意的是,此算符的平方為零:

由於\theta_i \theta_i = -\theta_i \theta_i,所以(\theta_i)^2 = 0\,

為了能讓費米子也有路徑積分,格拉斯曼數的積分需要有以下特性:

  • 線性
\int\,[a f(\theta) + b g(\theta) ]\, d\theta = a \int\,f(\theta)\, d\theta + b \int\,g(\theta)\, d\theta
\int \left[\frac{\partial}{\partial\theta}f(\theta)\right]\, d\theta = 0

因此格拉斯曼量的積分有以下的規定:

\int\, 1\, d\theta = 0
\int\, \theta\, d\theta = 1

所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。

量子場論路徑積分表述中,在描述費米子反交換場時,需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分

\int \exp\left[\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A

其中An\times n矩陣

由格拉斯曼數集合所生成的代數格拉斯曼代數。由n個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數,其維度2^n

格拉斯曼代數是超交換代數的原型。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量,因此可以滿足分層的交換律(特別是奇變量為反交換)。

外代數[编辑]

格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間外代數。外代數的定義與基底的選擇無關。

矩陣表示[编辑]

格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如,已知一格拉斯曼代數,是由兩個格拉斯曼數\theta_1\theta_2所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示:

\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}

一般來說,由n個生成元生成的格拉斯曼代數,可用2^n \times 2^n的正方形矩陣表示。在物理上,這些矩陣可被視為升算符,作用對象為佔位數基底中n個費米子的希爾伯特空間。由於每個費米子的佔位數皆為0或1,因此共有2^n種基底態。在數學上,這些矩陣可被視為線性算符,對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。

應用[编辑]

量子場論中,格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義費米子場路徑積分,因此需要為格拉斯曼數的積分下定義,這種積分又叫別列津積分

格拉斯曼數在為超流形(或超空間)下定義時有重要用途,此時它們被用作“反交換座標”。

另見[编辑]

參考資料[编辑]

  • Michael Peskin; Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics. Reading, Massachusetts: Westview Press. 1995: pp298–302. ISBN 0201503972.