本页使用了标题或全文手工转换

格林函數

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,格林函數點源函數影響函數)是一種用來解有初始条件邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中,格林函数常常指各种关联函数英语Correlation function (quantum field theory),有时并不符合数学上的定义。

格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林(George Green),早在1830年代,他是第一個提出這個概念的人。

定義以及用法[编辑]

给定流形M\,上的微分算子 L\,,其格林函數G(x,s)\, s,x\in M,为以下方程的解

L G (x,s) = \delta(x-s) \ \ \ \ \ (1)

其中 \delta\,狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程:

L u(x) = f(x) \ \ \ \ (2)

L零空间非平凡,則格林函數不唯一。不過,實際上因著對稱性邊界條件或其他的因素,可以找到唯一的格林函數。一般來說,格林函數只是一个广义函数

格林函數在凝聚態物理學中常被使用,因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中,哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構,因此兩者對應的格林函數也相當接近。

動機[编辑]

若可找到線性算符 L\, 的格林函數 G\,,則可將 (1) 式兩側同乘f(s)\,,再對變數 s\, 積分,可得:

\int L G(x,s) f(s) ds = \int \delta(x-s)f(s) ds = f(x).

由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 Lu(x)\,,因此:

Lu(x) = \int L G(x,s) f(s) ds.

由於算符 L\, 為線式,且只對變數 x\, 作用,不對被積分的變數 s\, 作用),所以可以將等號右邊的算符 L\, 移到積分符號以外,可得:

Lu(x) = L\left(\int G(x,s) f(s) ds\right).

而以下的式子也會成立:

u(x) = \int G(x,s) f(s) ds . \ \ \ \ (3)

因此,若知道 (1) 式的格林函數,及 (2) 式中的 f(x),由於 L 為線性算符,可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說, (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ,就可以求出 u(x)

並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論,(3) 式的積分也很難求解,因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。

格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函數,則方程式 Lu = f 的解 u

 u(x) = \int{ f(s) G(x,s) \, ds}.

可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開,再將所有投影疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程英语Fredholm_integral_equation

非齊次邊界值問題的求解[编辑]

格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中,格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子英语propagator,而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的关联函数英语Correlation function (quantum field theory)

研究框架[编辑]

 L 為一個施图姆-刘维尔運算子,是一個以以下形式表示的線性微分運算子

 L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)

D 是邊界條件運算子

 Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right.

 f(x) 為在 [0,l] 區間的連續函數,並假設以下問題

 \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}

有正則特牲;即其齊次問題只存在尋常解。

定理[编辑]

則存在唯一解  u(x)\, 滿足以下方程式

 \begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}

而其解的計算方式如下

 u(x) = \int_0^\ell f(s) g(x,s) \, ds

而中  g(x,s)\, 即為格林函數,有以下的特性:

  1.  g(x,s)\, x \, s \, 連續。。
  2. 對所有  x \ne s ,  L g ( x, s ) = 0 \,.
  3. 對所有  s \ne 0, l ,  D g ( x, s ) = 0 \,.
  4. 微分跳躍: g ' ( s_{ + 0}, s ) - g ' (s_{ - 0}, s ) = 1 / p(s) \,.
  5. 對稱: g(x, s) = g(s, x) \,.

尋找格林函數[编辑]

特徵向量展開[编辑]

若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量  \Psi_n(x) (也就是一組函數 \Psi_n(x) 及純量 \lambda_n 使得 L \Psi_n = \lambda_n \Psi_n 成立)則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。

先假設函數  \Psi_n(x) 滿足以下的完備性:

 \delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').

經由證明可得下式:

 G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.

若在等號兩側加上微分算子 L,則可以證明以上假設的完備性。

有關以上格林函數的進一步研究,及格林函數和特徵向量所組成空間的關係,則為弗雷德霍姆理論英语Fredholm theory所要探討的內容。

拉普拉斯算子的格林函數[编辑]

先由格林定理開始:

 \int_V (\phi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\phi) dV = \int_S (\phi\nabla\psi - \psi\nabla\phi)\cdot d\hat\sigma

假設線性算符 L拉普拉斯算子 \nabla^2,而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義,可得下式:

L G(x,x') = \nabla^2 G(x,x') = \delta(x-x')

令格林定理中的 \,\!\psi = G,可得:

 \int_V \phi(x') \delta(x - x')\ d^3x' - \int_V G(x,x') \nabla^2\phi(x')\ d^3x' = \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma' \ \ \ \ \ (4)

根據上式,可以解拉普拉斯方程 \nabla^2\phi(x)=0泊松方程 \nabla^2\phi(x)=-4\pi\rho(x),其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說,在以下任一個條件成立時,可以解一空間內任一位置的 \,\!\phi(x)

  1. 已知 \,\!\phi(x) 在邊界上的值(狄利克雷邊界條件)。
  2. 已知 \,\!\phi(x) 在邊界上的法向導數(諾伊曼邊界條件)。

若想解在區域內的 \,\!\phi(x),由於狄拉克δ函數的特性,(4) 式等號左邊的第一項

\int\limits_V {\phi(x')\delta(x-x')\ d^3x'}

可化簡為 \,\!\phi(x) ,再將 (4) 式等號左邊第二項  \nabla^2\phi(x') \,\!\rho'(x') 表示,(若為泊松方程,\,\!\rho'(x)=-4\pi\rho(x),若為拉普拉斯方程,\,\!\rho'(x)=0),可得:

\phi(x) = \int_V G(x,x') \rho'(x')\ d^3x' + \int_S \phi(x')\nabla' G(x,x') - G(x,x')\nabla'\phi(x') \cdot d\hat\sigma'  \ \ \ \ \ (5)

上式即為調和函數(harmonic function)的特性之一:若邊界上的值或法向導數已知,則可以求出區域內每個位置的數值。

靜電學中,\,\!\phi(x)電位\,\!\rho(x)電荷密度,而法向導數 \nabla\phi(x')\cdot d\hat\sigma' 則為電場在法向的分量。

若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件,可以選擇在 x 或 x' 在邊界時,其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ,只剩下一項需計算。

自由空間的情形下(此時可將邊界條件視為: \lim_{\hat x \to \infty} \phi(x) = 0 ),拉普拉斯算子的格林函數為:

 G(\hat x, \hat x') = \frac{1}{|\hat x - \hat x'|}

\,\!\rho(\hat x)電荷密度,則可得到電荷密度和電位 \,\!\phi(\hat x) 的公式:

\phi(\hat x) = \int_V \frac{\rho(x')}{|\hat x - \hat x'|} \ d^3x'

範例[编辑]

針對以下微分方程

 \begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x )
 Du =  u(0) = 0 \quad, \quad u\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

找出格林函數。

第 1 步

根據定理中,格林函數的特性 2,可得

 g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x  + c_2 (s) \cdot \sin x

x < s 時因特性 3 可知

 g(0,s) = c_1 (s) \cdot 1  + c_2 (s) \cdot 0 = 0, \quad c_1 (s) = 0

(此時不需考慮  g(\frac{\pi}{2},s) = 0 的式子,因  x \ne \frac{\pi}{2})在 x > s 時因特性 3 可知

 g(\frac{\pi}{2},s) = c_1 (s) \cdot 0  + c_2 (s) \cdot 1 = 0, \quad c_2 (s) = 0

(此時不需考慮  \quad g(0,s) = 0 的式子,因  x \ne 0 )整理上述的結果,可得以下的式子。

 g(x,s)=\left\{\begin{matrix} 
a(s) \sin x, \;\; x < s \\
b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.

第 2 步

依格林函數的特性,找出 a(s)和b(s).

根據特性 1,可得

 a(s) \sin s = b(s) \cos s\quad .

根據特性 4,可得

 b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1} = 1\, .

解上述二式,可以求出 a(s)和b(s)

 a(s) = - \cos s  \quad ; \quad b(s) = - \sin s .

因此格林函數為

 g(x,s)=\left\{\begin{matrix}
-1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\
-1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x 
\end{matrix}\right.

對照此解和格林函數的特性 5,可知此解也滿足特性 5 的要求。

其他舉例[编辑]

  • 若流形為 R,而線性算符 L 為 d/dx,則单位阶跃函数 H(xx0) 為 L 在 x0 處的格林函數。
  • 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子,並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件,而在y = 0 處有諾依曼邊界條件,則其格林函數為
G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]
+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].

參見[编辑]

參考[编辑]

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.(其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部連結[编辑]