格林恆等式

格林恆等式（Green's identities）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式

設定向量場 $\mathbf{F}=\psi \nabla \phi$；其中，在 $\mathbb{R}^3$ 的某區域 $\mathbb{U}$ 內，ϕ 是二次連續可微標量函數，ψ 是一次連續可微標量函數，則從散度定理，

$\int_\mathbb{U} \nabla\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, \mathrm{d}S$ ，

可以推導出格林第一恆等式：

$\int_\mathbb{U} (\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S$ ；

其中，$\partial \mathbb{U}$ 是區域 $\mathbb{U}$ 的邊界，$\frac{\partial}{\partial n}$ 是取於邊界面 $\partial \mathbb{U}$ 的法向導數，即 $\frac{\partial\phi}{\partial n}= \nabla \phi \cdot \mathbf{n}$ 。

格林第二恆等式

假若在區域 $\mathbb{U}$ 內，ϕ 和 ψ 都是二次連續可微，則可交換 ϕ 與 ψ ，從 (ψ,ϕ) 的格林第一恆等式得到 (ϕ,ψ) 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：

$\int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S$ 。

格林第三恆等式

假設函數 G 是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

$\nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$ ；

其中，$\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$ 是狄拉克δ函數。

例如，在 R³，基本解的形式為

$G(\mathbf{x},\mathbf{x}')={-1 \over 4 \pi\|\mathbf{x} - \mathbf{x}' \|}$ 。

函數 G 稱為格林函數。對於變數 $\mathbf{x}$ 與 $\mathbf{x}'$ 的交換，格林函數具有對稱性，即$G(\mathbf{x},\mathbf{x}') =G(\mathbf{x}',\mathbf{x})$ 。

設定 ϕ = G ，在區域 $\mathbb{U}$ 內，ψ 是二次連續可微。假若 $\mathbf{x}$ 在積分區域 $\mathbb{U}$ 內，則應用狄拉克δ函數的定義，

$\psi(\mathbf{x} ) - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'= \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'$ ；

其中，dV' 、dS' 分別積分 $\mathbf{x}'$ 於 $\mathbb{U}$

這是格林第三恆等式。假若 ψ 是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：

$\nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')=0$ ，

則這恆等式簡化為

$\psi(\mathbf{x}) = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'$ 。

參閱

• 向量恆等式列表
• 數學恆等式列表 (List of mathematical identities)
• 向量微積分恆等式 (Vector calculus identities)