格林恆等式

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

格林恆等式Green's identities)乃是向量分析的一組共三條恆等式,以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式[编辑]

設定向量場 \mathbf{F}=\psi \nabla \phi ;其中,在 \mathbb{R}^3 的某區域 \mathbb{U} 內,\phi 是二次連續可微標量函數,\psi 是一次連續可微標量函數,則從散度定理

\int_\mathbb{U} \nabla\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, \mathrm{d}S

可以推導出格林第一恆等式[1]

\int_\mathbb{U} (\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S

其中,\partial \mathbb{U} 是區域 \mathbb{U} 的邊界,\frac{\partial}{\partial n} 是取於邊界面 \partial \mathbb{U}法向導數,即 \frac{\partial\phi}{\partial n}= \nabla \phi \cdot \mathbf{n}

格林第二恆等式[编辑]

假若在區域 \mathbb{U} 內,\phi\psi 都是二次連續可微,則可交換 \phi\psi ,從 (\psi,\phi) 的格林第一恆等式得到 (\phi,\psi) 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減,則可得到格林第二恆等式:

 \int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S

格林第三恆等式[编辑]

假設函數 G拉普拉斯方程式基本解fundamental solution):

 \nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')

其中,\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}')狄拉克δ函數

例如,在 R3,基本解的形式為

G(\mathbf{x},\mathbf{x}')={-1 \over 4 \pi\|\mathbf{x} - \mathbf{x}' \|}

函數 G 稱為格林函數。對於變數 \mathbf{x}\mathbf{x}' 的交換,格林函數具有對稱性,即G(\mathbf{x},\mathbf{x}') =G(\mathbf{x}',\mathbf{x})

設定 \phi=G ,在區域 \mathbb{U} 內,\psi 是二次連續可微。假若 \mathbf{x} 在積分區域 \mathbb{U} 內,則應用狄拉克δ函數的定義,

\psi(\mathbf{x} )  - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'=  \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'}  -  G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right]  \, \mathrm{d}S'

其中,dV'dS' 分別積分 \mathbf{x}'\mathbb{U}

這是格林第三恆等式。假若 \psi調和函數,即拉普拉斯方程式的解:

\nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')=0

則這恆等式簡化為

\psi(\mathbf{x}) =  \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'}  -  G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right]  \, \mathrm{d}S'

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.