格羅滕迪克不等式

格羅滕迪克不等式是數學中表示兩個量

$\max_{-1 \leq s_i \leq 1, -1 \leq t_j \leq 1 } \left| \sum_{i,j} a_{ij} s_i t_j \right|$

及

$\max_{S_i,T_j \in B(H)} \left| \sum_{i,j} a_{ij} \langle S_i , T_j \rangle \right|$,

的關係的不等式，其中$B(H)$是一個希爾伯特空間$H$中的單位球。適合不等式

$\max_{S_i,T_j \in B(H)} \left| \sum_{i,j} a_{ij} \langle S_i , T_j \rangle \right| \leq k(H) \max_{-1 \leq s_i \leq 1, -1 \leq t_j \leq 1 } \left| \sum_{i,j} a_{ij} s_i t_j \right|, \quad a_{i,j} \in \mathbb{R}$

的最佳常數$k(H)$稱為希爾伯特空間$H$的格羅滕迪克常數。

亞歷山大·格羅滕迪克證明$k(H)$有一個獨立於$H$的上界：定義

$k = \sup_H k(H).$

格羅滕迪克證明了

$1.57 \leq k \leq 2.3.$

之後克里維納（Krivine）證出

$1.67696\dots\leq k \leq 1.7822139781\dots;$

即使對此繼續有研究，$k$到現在還不知道確實數值。

參考

• A.Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1--79
• J.-L. Krivine, Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les spheres., Adv. Math. 31, 16-30, 1979.

外部連結

• Wolfram網頁