格羅莫夫積

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格羅莫夫(Gromov)積度量幾何的一個概念,以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中,從同一點出來的兩條測地線,格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過,格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。[1]

格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。

定義[编辑]

(X,d)為度量空間,x,y,zX中三點,則y,zx為基點的格羅莫夫積定義為

(y, z)_{x} := \frac1{2} \big( d(x, y) + d(x, z) - d(y, z) \big)

性質[编辑]

  • 對稱性(y, z)_{x}=(z, y)_{x}
  • 若基點和另一點相同,格羅莫夫積為零:(y, z)_{y} = 0(y, z)_{z} = 0
  • 以下關係式成立:
d(x, y) = (x, z)_{y} + (y, z)_{x}
0 \leq (y, z)_{x} \leq \min \big\{ d(y, x), d(z, x) \big\}
\big| (y, z)_{p} - (y, z)_{q} \big| \leq d(p, q)
\big| (x, y)_{p} - (x, z)_{p} \big| \leq d(y, z)
Inkreis mit Strecken.svg
  • X,則對X中任意三點x,y,z(y, z)_{x}是從xy,z的兩條線段重合部份的長度。
  • X為測地度量空間。記[y,z]為連接點y,z的一條測地線段。(注意連接此兩點的測地線段未必唯一。)對X中任意三點x,y,z有不等式:
d(x,[y,z]) \geq (y,z)_{x}
  • 格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為:[2]
\delta\geq 0為常數。度量空間(X,d)稱為δ-雙曲,若X中任意點p,x,y,z都符合不等式
(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta

參考[编辑]

  1. ^ Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
  2. ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.