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梅涅劳斯定理

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情況1:直線LMN穿過三角形ABC
情況2:直線LMN在三角形ABC外面

梅涅劳斯定理Menelaus' theorem)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一直线与\triangle ABC的边BCCAAB分别交于LMN,则有:

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1

它的逆定理也成立:若有三点LMN分别在\triangle ABC的边BCCAAB或其延长线上(有一点或三点在延长线上),且满足

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1

LMN三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线

证明[编辑]

如图,设\angle ANM = \alpha\angle AMN = \beta\angle MLC = \gamma,则在\triangle AMN中由正弦定理,有

\frac{AN}{AM} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha},

同理,因對頂角相等在\triangle NBL\triangle CLM中有

\frac{BL}{BN} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma},

\frac{CM}{CL} = \frac{\sin \gamma}{\sin \beta}.

三式相乘,得

\frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = 1,

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1.

参见[编辑]

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