梅涅劳斯定理

情況1：直線LMN穿過三角形ABC

情況2：直線LMN在三角形ABC外面

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与 $\triangle ABC$ 的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有：

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$ 。

它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在 $\triangle ABC$ 的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$

则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

证明 [编辑]

如图，设 $\angle ANM = a$ ， $\angle AMN = b$ ， $\angle MLC = c$ ，则在 $\triangle AMN$ 中由正弦定理，有

$\frac{AN}{AM} = \frac{\sin b}{\sin a}$ （1）

同理，因對頂角相等在 $\triangle NBL$ 和 $\triangle CLM$ 中有

$\frac{BL}{BN} = \frac{\sin a}{\sin c}$ （2）

及

$\frac{CM}{CL} = \frac{\sin c}{\sin b}$ （3）

三式相乘，得

$\frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin b}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\sin c} \cdot \frac{\sin c}{\sin b} = 1$ ，

即

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$ 。

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