梯形公式

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
線性函數(紅色)會作用估算函數f(x) (藍色)。

數學裏,梯形公式是用作估算定積分

 \int_{a}^{b} f(x)\,dx.

梯形公式會把函數圖像f(x)當作成梯形並估算它的面積。以下就是估算所用的公式

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

梯形公式[编辑]

每一區間相同[编辑]

梯形公式的示意圖(長度相同的區間)。

為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間[a, b]分成N份,當中N趨向無限,分割出的每一個區間長度必定要是一樣的,然後就可以應用梯形公式:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right].

亦可以寫成:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2N} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots+2f(x_{N-1}) + f(x_N) \right)

當中

x_k=a+k \frac{b-a}{N},\text{ for }k=0, 1, \dots, N

當區間的長度並不相同時,這一條公式便不能使用。

每一區間並不相同[编辑]

梯形公式的示意圖(長度不相同的區間)

給予x_1,\ldots,x_N以及y_1,\ldots,y_N定積分就可以估算成

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=2}^{N} (x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1}),

當中

y_i=f(x_i).

誤差分析[编辑]

應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異:

 \text{error} = \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{N} \left[ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{N-1} f \left( a+k \frac{b-a}{N} \right) \right]

如果ab 中存在一個實數ξ,那麼

 \text{error} = -\frac{(b-a)^3}{12N^2} f''(\xi)

如果被積函數是一個凸函數(亦即有一個正值二階導數),那麼誤差會是一個負數,也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達:梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地,如果被積函數是一個凹函數,梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。

一般而言有數種方法可以去分析誤差,例如是:傅利葉級數

N → ∞的情況下,趨向性的估計誤差是:

 \text{error} = -\frac{(b-a)^2}{12N^2} \big[ f'(b)-f'(a) \big] + O(N^{-3}).