棣美弗定理

维基百科，自由的百科全书

跳转到：导航, 搜索

复平面上的立方根等於1.

棣美弗定理是一個關於複數的定理。

[编辑] 歷史

法國數學家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）於1707年創立了棣美弗定理，並於1730年發表。

[编辑] 定理

當一個複數z以极坐标形式表達，即 $z = cosθ + i sinθ$ 時，其 $n$ 次方 $(cosθ + i sinθ) n = cos(n θ) + i sin(n θ)$ ，其中 $n$ 屬於任何整數。

[编辑] 証明

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

[编辑] 正整数情形

用數學歸納法，

設命題

$P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}$

n为1时，式左 $= ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 = \cos \theta + i \sin \theta = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )=$ 式右。因此 P(1)成立。

假設 $P (k)$ 成立，即

$(cosθ + i sinθ) k = cos(k θ) + i sin(k θ)$

當 $n = k + 1$ 时，

$\cdot ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}$

$=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta \cdot \cos\theta + \cos k\theta \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta \cdot \cos\theta + i\sin k\theta \cdot i\sin\theta)$

$=[\cos k\theta \cdot \cos\theta - \sin k\theta \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta \cdot \sin\theta + \sin k \theta \cdot \cos\theta]$

$=\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta \cdot$

因此 $P (k + 1)$ 也成立。

由數學歸納法可知， $\forall n \in \mathbb{N}$ ， $P (n)$ 成立。

[编辑] 整数情形

只需运用恒等式：

$(\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1$ 即可。

[编辑] 有理数情形

注意到 $\left(\cos \frac{\theta}{n} +i \sin \frac{\theta}{n}\right)^{n} = (\cos \theta+i \sin \theta )$ ，将 $θ$ 换为 $m θ$ 就有：

$\left(\cos \frac{m\theta}{n} +i \sin \frac{m\theta}{n}\right)^{n} = (\cos m\theta+i \sin m\theta) =(\cos \theta+i \sin \theta)^{m}$

因此 $\left(\cos \theta+i \sin \theta\right)^{\frac{m}{n}} =\left(\cos \frac{m\theta}{n} +i \sin \frac{m\theta}{n}\right)$

这样就证明了有理数的情形。

[编辑] 用棣美弗定理求根

此定理可用來求單位複數的 $n$ 次方根。設 $| z | = 1$ ，表為

z = cosθ + i sinθ

若 $w n = z$ ，則 $w$ 也可以表成 $w = cosφ + i sinφ$ 。根據棣美弗定理：

$w^n = \left(\cos \phi + i \sin\phi \right)^n = \cos n\phi + i \sin n\phi = \cos \theta + i \sin \theta = z$

於是得到

n φ = θ + 2 k π

（其中 $k \in \Z$ ）

也就是：

$\phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}$

當 $k$ 取 $0, \ldots, n-1$ ，我們得到 $n$ 個不同的根。