棣莫弗公式

复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數的公式。

歷史

法國數學家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）於1707年創立了棣莫弗公式，並於1730年發表。

公式

當一個複數z以极坐标形式表達，即$z = \cos \theta + i\sin \theta$時，其$n$次方$( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos ( n \theta ) + i \sin ( n \theta )$，其中$n$屬於任何整數。

証明

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

正整数情形

用數學歸納法，

設命題

$P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}$

n为1时，式左 $= ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 = \cos \theta + i \sin \theta = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )=$ 式右。因此 P(1)成立。

假設$P(k)$成立，即

$(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos (k\theta) + i\sin(k\theta)$

當$n=k+1$时，

$\cdot ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}$

$=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta \cdot \cos\theta + \cos k\theta \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta \cdot \cos\theta + i\sin k\theta \cdot i\sin\theta)$

$=[\cos k\theta \cdot \cos\theta - \sin k\theta \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta \cdot \sin\theta + \sin k \theta \cdot \cos\theta]$

$=\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta \cdot$

因此$P(k+1)$也成立。

由數學歸納法可知，$\forall n \in \mathbb{N}$，$P(n)$成立。

整数情形

只需运用恒等式：

$(\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1$即可。

有理数情形

注意到 $\left(\cos \frac{\theta}{n} +i \sin \frac{\theta}{n}\right)^{n} = (\cos \theta+i \sin \theta )$ ，将$\theta$换为 $m\theta$ 就有：

$\left(\cos \frac{m\theta}{n} +i \sin \frac{m\theta}{n}\right)^{n} = (\cos m\theta+i \sin m\theta) =(\cos \theta+i \sin \theta)^{m}$

因此 $\left(\cos \theta+i \sin \theta\right)^{\frac{m}{n}} =\left(\cos \frac{m\theta}{n} +i \sin \frac{m\theta}{n}\right)$

这样就证明了有理数的情形。

用棣莫弗公式求根

此定理可用來求單位複數的 $n$ 次方根。設 $|z|=1$，表為

$z = \cos \theta + i \sin \theta$

若 $w^n = z$，則 $w$ 也可以表成：

$w = \cos \phi + i \sin \phi$

按照棣莫弗公式：

$w^n = (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi = \cos \theta + i \sin \theta = z$

於是得到

$n \phi = \theta + 2k\pi$（其中 $k \in \Z$）

也就是：

$\phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}$

當 $k$ 取 $0, 1, \ldots, n-1$，我們得到 $n$ 個不同的根。