棣莫弗公式

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复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數三角函數的公式,命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗(1667年-1754年)。其內容為對任意实数整數,下列性質成立:

其中虛數單位)。值得注意的是,儘管本公式以棣美弗本人命名,他從未直接地將其發表過[1]。為了方便起見,我們常常將合併為另一個三角函數cis(x),也就是說:

在操作上,我們常常限制屬於實數,這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把變化為的形式。另外,儘管棣美弗公式限制須為整數,但倘若適當推廣本公式,便可將拓展到非整數的領域。

證明[编辑]

(证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形,并推广到负整数。)

(1)当时,显然成立。

(2)當时:

左式 右式

因此,成立。

(3)當时:

假設成立,即

时:

等号1处使用和角公式

因此,也成立。

综上所述,根據數學歸納法,成立。

另外,由恒等式:

可知,公式对于负整数情况也成立。

证毕。

檢定[编辑]

最简单的方法是应用欧拉公式[2]

由於
所以

用棣莫弗公式求根[编辑]

此定理可用來求單位複數的 次方根。設 ,表為

,則 也可以表成:

按照棣莫弗公式:

於是得到

(其中

也就是:

,我們得到 個不同的根:

參考資料[编辑]

  1. ^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444. 
  2. ^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19).