棣莫弗公式

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复平面上的立方根等於1.

棣莫弗公式是一個關於複數的公式。

歷史[编辑]

法國數學家棣莫弗(Abraham de Moivre,1667年-1754年)於1707年創立了棣莫弗公式,並於1730年發表。

公式[编辑]

當一個複數z以极坐标形式表達,即z =r( \cos \theta + i\sin \theta )時,其n次方(r( \cos \theta + i \sin \theta ))^n = r^n( \cos ( n \theta ) + i \sin ( n \theta )) ,其中n屬於任何整數

証明[编辑]

欧拉公式[编辑]

最简单的方法是应用欧拉公式

e^{ix} = \cos x + i\sin x\,
\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .
e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,

數學歸納法[编辑]

正整数情形[编辑]

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

命題P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}

當n=1

左式 = ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 =  \cos \theta + i \sin \theta  = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )= 右式

因此 P(1)成立。

假設P(k)成立,即(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos (k\theta) + i\sin(k\theta)

n=k+1

 \cdot  ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}

 =(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)
 =(\cos k\theta + i\sin k\theta)  \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)
 =(\cos k\theta  \cdot \cos\theta + \cos k\theta  \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta  \cdot \cos\theta + i\sin k\theta  \cdot i\sin\theta)
 =[\cos k\theta  \cdot \cos\theta - \sin k\theta  \cdot \sin\theta] + i[\cos k\theta  \cdot \sin\theta + \sin k \theta  \cdot \cos\theta]
 =\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta   \cdot

因此,P(k+1)也成立。

根據數學歸納法,\forall n \in \mathbb{N}P(n)成立。

負整数情形[编辑]

只需运用恒等式:

 (\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1 即可證明。

用棣莫弗公式求根[编辑]

此定理可用來求單位複數的 n 次方根。設 |z|=1,表為

z = \cos \theta + i \sin \theta

w^n = z,則 w 也可以表成:

w = \cos \phi + i \sin \phi

按照棣莫弗公式:

w^n = (\cos \phi + i \sin \phi)^n = \cos n \phi + i \sin n \phi = \cos \theta + i \sin \theta = z

於是得到

n \phi = \theta + 2k\pi(其中 k \in \Z

也就是:

 \phi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}

k0, 1, \ldots, n-1,我們得到 n 個不同的根。