森田等价

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抽象代数中,森田等价Morita equivalence)是定义在环之间的一个等价关系,这个等价保持许多环论性质。以日本数学家森田纪一Kiiti Morita)命名,他在1958年定义了这个等价关系以及对偶性的一个类似概念。

动机[编辑]

通常通过研究环上的来研究环本身,因为模可以看成环的表示。每个环有自然的在自己上的 R-模结构,其模作用定义为环中的乘法,所以通过模的进路更一般,能给出有用的信息。因此,我们经常通过研究环上的模范畴来研究环。

森田等价便采取这种观点,自然地定义环等价如果它们的模范畴是等价的。

正式定义[编辑]

两个环 RS 称为森田等价如果 R 上的(左)模范畴 RMS 上的(左)模范畴 SM 之间存在一个加性等价。

可以证明左模范畴等价当且仅当右模范畴是等价的。

等价可以刻画为:如果 F:RM \to SMG:SM \to RM 是加性(共变)函子,则 FG 是等价的当且仅当存在一个平衡的 (S,R)-双模 P 使得 SPPR 是有限生成投射生成元与自然同构  F \cong (P \otimes_R -)G \cong \operatorname{Hom}_S(P,-) .

等价保持的性质[编辑]

模范畴中等价的对象保持许多性质。取环作为特例,我们有等价的环保持下列性质。如果 RS 是等价的环,那么 R

当且仅当 S 满足相应的性质。另外,我们有 Cen(R) 同构于 Cen(S),这里 Cen 表示环的中心,以及 R/J(R) 等价于 S/J(S),这里 J 表示雅各布森根

但是,森田等价不是同构。可以找到不同构但为森田等价的两个环,不过极其困难。森田等价蕴含同构的一个重要特例是交换环的情形。

例子[编辑]

对任何 n > 0,元素属于 R 的全矩阵Mn(R) 等价于 R。注意这推广了由 Artin-Wedderburn 定理给出的单阿廷环的分类。为了看出这个等价,注意到如果 M 是一个左 R-模则 M^n 是一个 M_n(R)-模,其模结构由将矩阵标准作用到向量上给出。这允许定义一个从左 R-模到左 M_n(R)-模范畴的函子。逆函子由实现定义:对任何左 M_n(R)-模存在一个左 R-模 V 以及一个正整数 n,使得这个 M_n(R)-模是由 V 通过上述方式得到的。

等价的判据[编辑]

对任何从左 R-模范畴到左 S-模范畴的与直和交换的右正合函子 F同调代数的一个定理指出存在一个 (S,R)-双模 E 使得 F 自然等价于 E \otimes_R -。这意味着如果 RS 森田等价等且仅当群在双模 MN 使得 M \otimes N \cong R 以及 N \otimes M \cong S。此外,N \cong \operatorname{Hom}(M,S)

进一步的说明[编辑]

与等价理论相对的是模范畴之间的对偶性理论,这时函子是反变的而不是共变的。这个理论,虽然形式上类似,但是却显著的不同,因为没有在任何环上的模范畴之间的对偶性,尽管可能对子范畴有对偶性存在。换句话说,因为无限维模一般不是自反的,对偶性理论更容易应用到诺特环上有限生成代数。也许不奇怪,上面的判据关于对偶性有一个类比,此时自然同构由 Hom 函子而不是张量函子给出。

森田等价也能对更复杂的结构定义,比如辛群胚C*-代数。在 C*-代数情形,需要一种更强的等价关系,称为强森田等价,因为额外的结构得到的结果在应用中非常有用。

在 K-理论中的重要性[编辑]

如果两个环是森田等价的,则在相应的投射模范畴有一个诱导等价,这是因为森田等价保持正合序列(从而保持投射模)。因为一个环的代数 K-理论用环上的投射模范畴的神经的分类空间的同伦群定义(Quillen 进路),森田等价的环一定有同构的 K-群。

参考文献[编辑]

  • F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2 nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3