椭圆曲线

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數學上,橢圓曲線為一代數曲線,被下列式子所定義

y^2=x^3+ax+b\,

其是無奇點的;亦即,其圖形沒有尖點或自相交。

y^2= P(x)\,,其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式,然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線,其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地,一虧格1的代數曲線,如兩個三維二次曲面相交,即稱為橢圓曲線。

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定義無窮遠點0為橢圓曲線E上的一點。定義 + 運算子:取E上的兩點P,Q,若兩者相異,P + Q表示穿過PQ的弦和橢圓曲線相交的第三點,再經x軸反射的鏡像點;若兩者是同一點,P+P=2P表示以P為切點和橢圓曲線相交的點再經x軸反射的鏡像點。若P和Q的弦與y軸平行,P+Q=0(無限遠點)。+定義了一個E上的交換群,這個群以0為單位元。

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特別地,所有有理點組成了E的子群。

上面的群可以用代數方式定義。給定域K(其中K的特徵值非2或者3)上的曲線E: y^2 = x^3 - px - q\,,及非無窮遠點P(x_P,y_P), Q(x_Q, y_Q) \in E。先假設x_P \ne x_Q,設s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}(因K是域,s有定義)。定義R = P+Q\,

x_R = s^2 - x_P - x_Q\,
y_R = -y_P + s(x_P - x_R) \,

x_P = x_Q\,

  • y_P = -y_Q\,P+Q = 0\,
  • y_P = y_Q\,R = 2P\,,其值為:
s = \frac{3{x_P}^2 - p}{2y_P}\,
x_R = s^2 - 2x_P\,
y_R = -y_P + s(x_P - x_R)\,

參考文獻[编辑]

  • I. Blake; G. Seroussi, N. Smart, N.J. Hitchin. Elliptic Curves in Cryptography. Cambridge Univ. Press. 2000. ISBN 0-521-65374-6. 
  • Richard Crandall; Carl Pomerance. Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic. Prime Numbers: A Computational Perspective 1st edition. Springer. 2001: 285–352. ISBN 0-387-94777-9. 
  • John Cremona. Alogorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge Univ. Press. 1992. 
  • Dale Husemöller. Elliptic Curves 2nd edition. Springer. 2004. 
  • Kenneth Ireland; Michael Rosen. Chapters 18 and 19. A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd edition. Springer. 1990. 
  • Anthony Knapp. Elliptic Curves. Math Notes 40, Princeton Univ. Press. 1992. 
  • Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer. 1984. 
  • Neal Koblitz. Chapter 6. A Course in Number Theory and Cryptography 2nd edition. Springer. 1994. ISBN 0-387-94293-9. 
  • Serge Lang. Elliptic Curves: Diophantine Analysis. Springer. 1978. 
  • Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1986. 
  • Joseph H. Silverman. Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1994. 
  • Joseph H. Silverman; John Tate. Rational Points on Elliptic Curves. Springer. 1992. 
  • Lawrence Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. 2003. ISBN 1-58488-365-0. 

外部連結[编辑]