椭圆曲线

在數學上，橢圓曲線為一代數曲線，被下列式子所定義

$y^2=x^3+ax+b\,$，

其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。

若$y^2= P(x)\,$，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。

群

定義無窮遠點0為橢圓曲線E上的一點。定義 + 運算子：取E上的兩點P,Q，若兩者相異，P + Q表示穿過P和Q的弦和橢圓曲線相交的第三點，再經x軸反射的鏡像點；若兩者是同一點，P+P=2P表示以P為切點和橢圓曲線相交的點在經x軸反射的鏡像點。若P和Q的弦與y軸平行，P+Q=0（無限遠點）。+定義了一個E上的交換群，這個群以0為單位元。

特別地，所有有理點組成了E的子群。

上面的群可以用代數方式定義。給定域$K$（其中$K$的特徵值非2或者3）上的曲線$E: y^2 = x^3 - px - q\,$，及非無窮遠點$P(x_P,y_P), Q(x_Q, y_Q) \in E$。先假設$x_P \ne x_Q$，設$s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}$（因$K$是域，$s$有定義）。定義$R = P+Q\,$：

$x_R = s^2 - x_P - x_Q\,$

$y_R = -y_P + s(x_P - x_R) \,$

若$x_P = x_Q\,$：

• 若$y_P = -y_Q\,$，$P+Q = 0\,$。
• 若$y_P = y_Q\,$，$R = 2P\,$，其值為：

$s = \frac{3{x_P}^2 - p}{2y_P}\,$

$x_R = s^2 - 2x_P\,$

$y_R = -y_P + s(x_P - x_R)\,$

參考文獻

• I. Blake; G. Seroussi, N. Smart, N.J. Hitchin. Elliptic Curves in Cryptography. Cambridge Univ. Press. 2000. ISBN 0-521-65374-6. 
• Richard Crandall; Carl Pomerance. Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic//Prime Numbers: A Computational Perspective 1st edition. Springer. 2001: 285–352. ISBN 0-387-94777-9. 
• John Cremona. Alogorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge Univ. Press. 1992. 
• Dale Husemöller. Elliptic Curves 2nd edition. Springer. 2004. 
• Kenneth Ireland; Michael Rosen. Chapters 18 and 19//A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd edition. Springer. 1990. 
• Anthony Knapp. Elliptic Curves. Math Notes 40, Princeton Univ. Press. 1992. 
• Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer. 1984. 
• Neal Koblitz. Chapter 6//A Course in Number Theory and Cryptography 2nd edition. Springer. 1994. ISBN 0-387-94293-9. 
• Serge Lang. Elliptic Curves: Diophantine Analysis. Springer. 1978. 
• Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1986. 
• Joseph H. Silverman. Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1994. 
• Joseph H. Silverman; John Tate. Rational Points on Elliptic Curves. Springer. 1992. 
• Lawrence Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. 2003. ISBN 1-58488-365-0. 

外部連結

• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
• 埃里克·韦斯坦因, Elliptic Curves at MathWorld