椭圆积分

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积分学中,椭圆积分最初出现于椭圆弧长有关的问题中。Guilio Fagnano欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 f \,的积分

 f(x) = \int_{c}^{x} R[t,P(t)]\ dt \,\!

其中R \,是其两个参数的有理函数P \,是一个无重根的3 \,4 \,多项式的平方根,而c \,是一个常数。

通常,椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在P \,有重根的时候,或者是R \,,\left(x,y \right) \,没有y \,的奇数幂时。但是,通过适当的简化公式,每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。(也即,第一,第二,和第三类的椭圆积分)。

除下面给出的形式之外,椭圆积分也可以表达为勒让德形式Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上,椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的,特别是这一个:F [ \textrm{sn} \left(z;k \right);k] = z\,其中  \textrm{sn} \,雅可比椭圆函数之一。

记法[编辑]

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价(它们给出同样的椭圆积分),但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前,先来检视一下这些变量的命名常规:

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量,可以有如下几种不同的设定方法:

规定其中一个决定另外两个。这样,它们可以互换地使用。注意u\,也依赖于m\,。其它包含u\,的关系有

\cos \phi = \textrm{cn}\; u\,\!

\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u.\,\!

后者有时称为δ幅度并写作\Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u\,\!。有时文献也称之为补参数,补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分[编辑]

第一类不完全椭圆积分 F \,定义为

 F(\phi\setminus o\!\varepsilon ) = F(\phi|m) =
\int_0^\phi\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}}.\,\!

与此等价,用雅可比的形式,可以设 x=\sin \phi ~,~ t=\sin \theta\;\!;则

 F(\phi\setminus o\!\varepsilon ) = F(x;k) =
\int_{0}^{x} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\,\!

其中,假定任何有竖直条出现的地方,紧跟竖直条的变量是(如上定义的)参数;而且,当反斜杠出现的时候,跟着出现的是模角。 在这个意义下, F(\sin\phi;\sin o\!\varepsilon) = F(\phi|\sin (o\!\varepsilon)^2) = F(\phi\setminus o\!\varepsilon )~ \,\!,这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符;|\,  \ \,是椭圆积分中的传统做法。

但是,还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有(象平方根正弦误差函数那样的)标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1], Eq\,.(8.111)]采用 F(\phi,k) \,\!。该记法和这里的 F(\phi|k^2)~ \,\!;以及下面的 E(\phi,k)=E(\phi|k^2)~ \,\!等价。

和上面的不同对应的是,如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言,必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来,如果从Maple翻到Mathematica,则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)几乎和Mathematica中的EllipticK[x^2]相等;至少当0<x<1\,时是相等的。

注意

F(x;k) = u \,\!

其中u\,如上文所定义:由此可见,雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式[编辑]

F(x_1;k)+F(x_2;k)=F\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!

此公式成立是有条件的。参见《第一、二类椭圆积分加法公式的成立条件》http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/126524062201422111572376/

性质[编辑]

F(x+n\pi;k)=F(x;k)+2nK(k)\,\!
F(x+\frac{n\pi}{2};k)=nK(k)\,\!
n \in \mathbb{Z}\,\!
F(-x;k)=-F(x;k)\,\!
F(x;0)=0\,\!
F(0;k)=-F(x;k)\,\!
F(x;1)={\rm{arctanh}}\sin x\,\!
-\frac{\pi}{2}<\Re(x)<\frac{\pi}{2}\,\!

第一类不完全椭圆积分的导数[编辑]

\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}F(x;k)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\,\!
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}F(x;k)=\frac{E(x;k)}{2k(1-k)}-\frac{F(x;k)}{2k}-\frac{\sin2x}{4(1-k)\sqrt{1-k\sin^2x}}\,\!

第二类不完全椭圆积分[编辑]

第二类不完全椭圆积分 E\!

 E(\phi\setminus o\!\varepsilon) = E(\phi|m) =
\int_0^\phi\!E'(\theta)\ {\rm{d}}\theta = \int_0^\phi\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}\ {\rm{d}}\theta.\,\!

与此等价,采用另外一个记法(作变量替换t=\sin\theta\,\!),

 E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t. \,\!

其它关系包括

E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;{\rm{d}}w =
u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;{\rm{d}}w = 
(1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;{\rm{d}}w.\,\!
E(\phi|k^2)=(1-k^2)\int_0^{\phi}\frac{{\rm{d}}\theta}{(1-k^2\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}+\frac{k^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,\!

加法公式[编辑]

E(x_1;k)+E(x_2;k)=E\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!
+\frac{k^2\sin^2 x_1\sin x_2\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}+k^2\sin x_1\sin^2 x_2\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2}\,\!

此公式成立是有条件的。参见《第一、二类椭圆积分加法公式的成立条件》http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/126524062201422111572376/

性质[编辑]

E(\phi+n\pi;k)=E(\phi;k)+2nE(k)\,\!
E(-\phi;k)=-E(\phi;k)\,\!

第二类不完全椭圆积分的导数[编辑]

\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\phi}E(\phi;k)=\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\!
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}E(\phi;k)=\frac{E(\phi;k)-F(\phi;k)}{2k}\,\!
\frac{{\rm{d}}^n}{{\rm{d}}k^n}E(\phi;k)=\frac{\pi}{2k^n}{}_2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1-n;k\right)-\frac{\sqrt\pi\cos\phi}{2k^{2n}} F_{2\times 1 \times0}^{1\times 3 \times2}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2};-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{1}{2},1;\\

1,\frac{3}{2};1-n;;\\

-k^2\cos\phi,\cos^2\phi
\end{bmatrix}+\frac{\pi m^{1-n}\cos\phi}{8}F_{3\times 1 \times1}^{2\times 1 \times1}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2},\frac{3}{2},2;\frac{1}{2},1;\\

2,2-n;1-n;\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\

-k^2\cos^2\phi,k^2
\end{bmatrix}
\,\!

第三类不完全椭圆积分[编辑]

第三类不完全椭圆积分\Pi\,\!

 \Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi \frac { {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}},\,\!

或者

 \Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{\sin\phi}
\frac{{\rm{d}}t}{(1-nt^2) \sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }},\,\!

或者

 \Pi(n; \phi|m) = \int_0^{F(\phi|m)} \frac{{\rm{d}}w}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m) }. \; \,\!

数字n\,称为特征数,可以取任意值,和其它参数独立。但是要注意\Pi(1;\frac{\pi}{2}|m)\,\!对于任意m\,\!是无穷的。

加法公式[编辑]

\Pi(n;\phi_1,k)+\Pi(n;\phi_2,k)=\Pi\left[n;\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2},k\right]-\sqrt{\frac{n}{ (1-n)(n-k^2)}}\arctan\frac{\sqrt{(1-n)n(n-k^2)}\sin\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}\sin\phi_1\sin\phi_2}{\frac{n\cos\phi_1\cos\phi_2-n\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}\sqrt{1-k^2\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}}\sin\phi_1\sin\phi_2+1-n\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}}

第三类不完全椭圆积分的导数[编辑]

\frac{\partial}{\partial n}\Pi(n;\phi,k)=
\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)} \left[E(\phi;k)+\frac{(k^2-n)F(\phi;k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\Pi(n;\phi,k)}{n}-\frac{n\sqrt{1-k^2\sin\phi}\sin2\phi}{2(1-n\sin^2\phi)}\right]
\frac{{\partial}^m}{\partial n^m}\Pi(n;\phi,k)=\frac{\sin \phi}{n^m}\sum_{q=0}^{\infty}\frac{q!
(n\sin^2\phi)^q}{(2q+1)\Gamma(q-m+1)}F_1\left(q+\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};q+\frac{3}{2};\sin^2\phi,k^2\sin^2\phi\right)
\frac{\partial}{\partial \phi}\Pi(n;\phi,k)=\frac{1}{(1-k^2\sin^2\phi)}\!
\frac{\partial}{\partial k}\Pi(n;\phi,k)=\frac{k}{n-k^2}\left[\frac{E(\phi;k)}{k^2-1}+\Pi(n;\phi,k)-\frac{k^2\sin2\phi}{2(k^2-1)\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\right]\!

特殊值[编辑]

 \Pi(n; \phi,1) =\frac{1}{2n-2}\left[\sqrt n \ln \frac{1+\sqrt n\sin\phi}{1-\sqrt n\sin\phi}-2\ln(\sec\phi+\tan\phi)\right]\!
- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!
 \Pi(0;\phi,k)=F(\phi,k) \!
 \Pi(n;\phi,0)=\frac{{\rm{arctanh}}(\sqrt{n-1}\tan \phi)}{\sqrt{n-1}}\!
- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!
 \Pi(n;\phi,\sqrt n)=\frac{1}{1-n}\left[E(\phi,\sqrt n)-\frac{n\sin2\phi}{2\sqrt{1-n\sin^2\phi}}\right]\!
 \Pi\left(n;\arcsin\frac{\sqrt\phi}{\phi},\sqrt \phi\right)=\frac{\sqrt\phi}{\phi}\Pi\left(\frac{n}{m};\frac{\sqrt n}{n}\right)\!
 \Pi\left(1;\phi,k\right)=\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\tan\phi-E(\phi,k)}{1-k^2}+F(\phi,k)\!

第一类完全椭圆积分[编辑]

如果幅度为 \frac{\pi}{2}\,或者x=1 \,,则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分K \,可以定位为

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

或者

K(k) = \int_{0}^{1} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}.\!

它是第一类不完全椭圆积分的特例:

K(k) = F(1;\,k) = F(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2)\!

这个特例可以表达为幂级数

K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 k^{2n}\!

它等价于

K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\}.\!

其中n!! \,表示双阶乘。采用高斯的超几何函数,第一类完全椭圆积分可以表达为

K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。

复数值[编辑]

\Re \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{5}{4},;;;\\

1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
+\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4},;;;\\

1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
\,\!
\Im \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;;;\\

1,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
+\frac{9}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{7}{4},\frac{5}{4},;;;\\

2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
\,\!


特殊值[编辑]

K(\pm \infty)=0\,
K(\pm {\rm{i}}\infty)=0\,
K(0) = \frac {\pi}{2}\!
K(1) = \infty\!
K(\frac{\sqrt2}{2})= \frac{8\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,
K\left(\sqrt{17-12\sqrt2}\right) =\frac {(4+2\sqrt2)\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,
K\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]3}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,
K\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]{27}}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,
K(-1)=\frac {\sqrt{2\pi}} {8\pi} \Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)\,
K(\sqrt2)=\frac{4\sqrt{2\pi}\pi} {\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}+\frac{4\sqrt{2\pi}\pi}{\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}{\rm{i}}\,
K({\rm{i}}k)=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}K\left(\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}\right)\,

其中

\Gamma \left(\frac 1 4\right) \approx 3.62561 \,
\Gamma \left(\frac 1 3\right) \approx 2.67893 \,

第一类完全椭圆积分满足

E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\,

第一类完全椭圆积分的导数[编辑]

\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}k}K^n(k) = \frac{nK^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}-\frac{nK^n(k)}{2k}

第二类完全椭圆积分[编辑]

第二类完全椭圆积分 E \,可以定义为

E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!

或者

 E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况:

E(k) = E(1;\,k) = E(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2)\!

它可以用幂级数表达

E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}\!

也就是

E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.\!

高斯超几何函数表示的话,第二类完全椭圆积分可以写作

E(k) = \frac{\pi}{2}  \,_2F_1 \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!

有如下性质

E(\frac{n\pi}{2};k)=nE(k)\,\!
n \in \mathbb{Z}\,\!


复数值[编辑]

E(x+y{\rm{i}})=\left\{\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\

1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
-\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},;-;-;\\

1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}\right\}+{\rm{i}}\left\{-\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\

1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}
-\frac{3}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0}
\begin{bmatrix}
\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;-;-;\\

2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\

-y^2,x^2
\end{bmatrix}\right\}
\,\!

特殊值[编辑]

E(0) = \frac \pi 2\!
E(1) = 1\!
E(\infty)={\rm{i}}\infty\,
E(-\infty)=\infty\,
E( {\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,
E({\rm{i}})=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+ \frac{\sqrt{2\pi}{\pi}^2}{4\pi\Gamma^2\left(\frac {3}{ 4}\right)}=\frac{\pi \sqrt{2\pi}}{\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)} +\frac{\sqrt{2\pi}}{8\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right) \,
E(-{\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,
E\left( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^{-2} + \tfrac{1}{8 \sqrt{\pi}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^2
E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{3}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+ \frac{\sqrt[3]{4}\left(3\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27} \right)}{48{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!
E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) =\frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{27}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+\frac{\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[4]{27}-\sqrt[4]{3} \right)}{16{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!
E(\sqrt2-1)=\frac{\sqrt{\pi}}{8}\left[\frac{\Gamma(\frac{1}{8})}{\Gamma(\frac{5}{8})}+\frac{\Gamma(\frac{5}{8})}{\Gamma(\frac{9}{8})}\right]\!
E(\sqrt2)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right){\rm{i}}


其中

\Gamma \left(\frac 1 8\right) \approx 7.53394 \,
\Gamma \left(\frac 5 8\right) \approx 1.43452 \,
\Gamma \left(\frac 9 8\right) \approx 0.94174 \,
\Gamma \left(\frac 3 4\right) \approx 1.22541 \,

第二类完全椭圆积分的导数和不定積分[编辑]

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}E(k)=\frac{E(k)-K(k)}{k}
\int E(k){\rm{d}}k=\frac{2}{3}\left[k K(k)-K(k)+kE(k)+E(k)\right]

第三类完全椭圆积分[编辑]

第三类完全椭圆积分\Pi \,可以定义为

\Pi(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的n \,,也即

\Pi'(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k'^2 \sin^2\theta}}.

用Appell hypergeometric Function表示为

\Pi(m,n)=\frac{\pi}{2}F_1\left(\frac{1}{2};1,\frac{1}{2};1;m,n\right)\,

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

\Pi\left[\frac{(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)},\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]-\frac{1+3x}{6x}K\left[\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]=\,


\begin{cases}
 0  & \mbox{for }0<x<1\!\, \\
 -\frac{\pi(x-1)\sqrt{(x-1)(1+3x)}}{12x} & \mbox{for }x < 0 ,x>1\!\, \\
  \end{cases}

K\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{4\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3-\sqrt{6\sqrt3-9}}{2}\Pi\left(\frac{1-\sqrt{2\sqrt3-3}}{2},\frac{1}{2}\right)\,

=\frac{3+\sqrt{6\sqrt3-9}}{2}\Pi\left(\frac{1+\sqrt{2\sqrt3-3}}{2},\frac{1}{2}\right)-\pi \sqrt{2+\sqrt3+\sqrt{7+\frac{38}{9}\sqrt3}}\,

第三类完全椭圆积分的导数[编辑]

\frac{\partial}{\partial n}\Pi(n,k)=
\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)} \left[E(k)+\frac{(k^2-n)K(k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\Pi(n,k)}{n}\right]
\frac{\partial}{\partial k}\Pi(n,k)=
\frac{k}{n-k^2}\left[ \frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right]

特殊值[编辑]

\Pi(0,0)=\frac{\pi}{2}\,
\Pi(n,0)=\frac{\pi}{2\sqrt{1-n}}\,
\Pi(n,1)=-\frac{\infty}{\sgn{n-1}}\,
\Pi(n,\sqrt n)=\frac{E(n)}{1-n}\,
\Pi(0,\sqrt n)=K(n)\,
\Pi(\pm \infty,\sqrt n)=0\,
\Pi(n,\pm \infty)=0\,

参看[编辑]

参考[编辑]