椭圆积分

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 $f \,$ 的积分

$f(x) = \int_{c}^{x} R[t,P(t)]\ dt \,\!$

其中 $R \,$ 是其两个参数的有理函数， $P \,$ 是一个无重根的 $3 \,$ 或 $4 \,$ 阶多项式的平方根，而 $c \,$ 是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在 $P \,$ 有重根的时候，或者是 $R \,$ , $\left(x,y \right) \,$ 没有 $y \,$ 的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个： $F [ \textrm{sn} \left(z;k \right);k] = z\,$ 其中 $\textrm{sn} \,$ 是雅可比椭圆函数之一。

记法 [编辑]

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价（它们给出同样的椭圆积分），但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前，先来检视一下这些变量的命名常规：

$o\!\varepsilon,\,\!$ 模角;
$k=\sin o\!\varepsilon,\,\!$ 椭圆模;
$m=k^2=\sin^2 o\!\varepsilon,\,\!$ 参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量，可以有如下几种不同的设定方法：

$\phi\,\!$ 幅度
$x\,$ 其中 $x=\sin \phi= \textrm{sn} \; u\,\!$
$u\,$ ，其中 $x = \textrm{sn} \; u \,$ 而 $\textrm{sn} \,$ 是雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样，它们可以互换地使用。注意 $u\,$ 也依赖于 $m\,$ 。其它包含 $u\,$ 的关系有

$\cos \phi = \textrm{cn}\; u\,\!$

和

$\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u.\,\!$

后者有时称为δ幅度并写作 $\Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u\,\!$ 。有时文献也称之为补参数，补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分 [编辑]

第一类不完全椭圆积分 $F \,$ 定义为

$F(\phi\setminus o\!\varepsilon ) = F(\phi|m) = \int_0^\phi\frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}}.\,\!$

与此等价，用雅可比的形式，可以设 $x=\sin \phi ~,~ t=\sin \theta\;\!$ ；则

$F(\phi\setminus o\!\varepsilon ) = F(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\,\!$

其中，假定任何有竖直条出现的地方，紧跟竖直条的变量是（如上定义的）参数；而且，当反斜杠出现的时候，跟着出现的是模角。在这个意义下， $F(\sin\phi;\sin o\!\varepsilon) = F(\phi|\sin (o\!\varepsilon)^2) = F(\phi\setminus o\!\varepsilon )~ \,\!$ ，这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun。使用限界符； $|\,$ $\ \,$ 是椭圆积分中的传统做法。

但是，还有许多不同的常规用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有（象平方根，正弦和误差函数那样的）标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。 $Gradstein\,$ , $Ryzhik\,$ [1], $Eq\,$ .(8.111)]采用 $F(\phi,k) \,\!$ 。该记法和这里的 $F(\phi|k^2)~ \,\!$ ；以及下面的 $E(\phi,k)=E(\phi|k^2)~ \,\!$ 等价。

和上面的不同对应的是，如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言，必须将 $EllipticK \,$ 函数的参数用它的平方根代替。反过来，如果从 $Maple \,$ 翻到 $Mathematica\,$ ，则参数应该用它的平方代替。 $Maple\,$ 中的 $EllipticK(x) \,$ 几乎和 $Mathematica\,$ 中的 $EllipticK[x^2]\,$ 相等；至少当 $0<x<1\,$ 时是相等的。

注意

$F(x;k) = u \,\!$

其中 $u\,$ 如上文所定义：由此可见，雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式 [编辑]

$F(x_1;k)+F(x_2;k)=F\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!$

性质 [编辑]

$F(x+n\pi;k)=F(x;k)+2nK(k)\,\!$

$F(x+\frac{n\pi}{2};k)=nK(k)\,\!$

$n \in \mathbb{Z}\,\!$

$F(-x;k)=-F(x;k)\,\!$

$F(x;0)=0\,\!$

$F(0;k)=-F(x;k)\,\!$

$F(x;1)={\rm{arctanh}}\sin x\,\!$

$-\frac{\pi}{2}<\Re(x)<\frac{\pi}{2}\,\!$

第一类不完全椭圆积分的导数 [编辑]

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}F(x;k)=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\,\!$

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}F(x;k)=\frac{E(x;k)}{2k(1-k)}-\frac{F(x;k)}{2k}-\frac{\sin2x}{4(1-k)\sqrt{1-k\sin^2x}}\,\!$

第二类不完全椭圆积分 [编辑]

第二类不完全椭圆积分 $E\!$ 是

$E(\phi\setminus o\!\varepsilon) = E(\phi|m) = \int_0^\phi\!E'(\theta)\ {\rm{d}}\theta = \int_0^\phi\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}\ {\rm{d}}\theta.\,\!$

与此等价，采用另外一个记法（作变量替换 $t=\sin\theta\,\!$ ），

$E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t. \,\!$

其它关系包括

$E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;{\rm{d}}w = u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;{\rm{d}}w = (1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;{\rm{d}}w.\,\!$

$E(\phi|k^2)=(1-k^2)\int_0^{\phi}\frac{{\rm{d}}\theta}{(1-k^2\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}+\frac{k^2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\,\!$

加法公式 [编辑]

$E(x_1;k)+E(x_2;k)=E\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!$

$+\frac{k^2\sin^2 x_1\sin x_2\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}+k^2\sin x_1\sin^2 x_2\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2}\,\!$

性质 [编辑]

$E(\phi+n\pi;k)=E(\phi;k)+2nE(k)\,\!$

$E(-\phi;k)=-E(\phi;k)\,\!$

第二类不完全椭圆积分的导数 [编辑]

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\phi}E(\phi;k)=\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\!$

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}k}E(\phi;k)=\frac{E(\phi;k)-F(\phi;k)}{2k}\,\!$

$\frac{{\rm{d}}^n}{{\rm{d}}k^n}E(\phi;k)=\frac{\pi}{2k^n}{}_2F_1\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1-n;k\right)-\frac{\sqrt\pi\cos\phi}{2k^{2n}} F_{2\times 1 \times0}^{1\times 3 \times2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2};-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;\frac{1}{2},1;\\ 1,\frac{3}{2};1-n;;\\ -k^2\cos\phi,\cos^2\phi \end{bmatrix}+\frac{\pi m^{1-n}\cos\phi}{8}F_{3\times 1 \times1}^{2\times 1 \times1} \begin{bmatrix} \frac{1}{2},\frac{3}{2},2;\frac{1}{2},1;\\ 2,2-n;1-n;\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -k^2\cos^2\phi,k^2 \end{bmatrix} \,\!$

第三类不完全椭圆积分 [编辑]

第三类不完全椭圆积分 $\Pi\,\!$ 是

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi \frac { {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1-(\sin\theta\sin o\!\varepsilon)^2}},\,\!$

或者

$\Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{\sin\phi} \frac{{\rm{d}}t}{(1-nt^2) \sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }},\,\!$

或者

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^{F(\phi|m)} \frac{{\rm{d}}w}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m) }. \; \,\!$

数字 $n\,$ 称为特征数，可以取任意值，和其它参数独立。但是要注意 $\Pi(1;\frac{\pi}{2}|m)\,\!$ 对于任意 $m\,\!$ 是无穷的。

加法公式 [编辑]

$\Pi(n;\phi_1,k)+\Pi(n;\phi_2,k)=\Pi\left[n;\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2},k\right]-\sqrt{\frac{n}{ (1-n)(n-k^2)}}\arctan\frac{\sqrt{(1-n)n(n-k^2)}\sin\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}\sin\phi_1\sin\phi_2}{\frac{n\cos\phi_1\cos\phi_2-n\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}\sqrt{1-k^2\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}}\sin\phi_1\sin\phi_2+1-n\sin^2\arccos\frac{\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2\sqrt{(1-k^2\sin^2\phi_1)(1-k^2\sin^2\phi_2)}}{1-k^2\sin^2\phi_1\sin\phi_2}}$

第三类不完全椭圆积分的导数 [编辑]

$\frac{\partial}{\partial n}\Pi(n;\phi,k)= \frac{1}{2(k^2-n)(n-1)} \left[E(\phi;k)+\frac{(k^2-n)F(\phi;k)}{n}+\frac{(n^2-k^2)\Pi(n;\phi,k)}{n}-\frac{n\sqrt{1-k^2\sin\phi}\sin2\phi}{2(1-n\sin^2\phi)}\right]$

$\frac{{\partial}^m}{\partial n^m}\Pi(n;\phi,k)=\frac{\sin \phi}{n^m}\sum_{q=0}^{\infty}\frac{q! (n\sin^2\phi)^q}{(2q+1)\Gamma(q-m+1)}F_1\left(q+\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};q+\frac{3}{2};\sin^2\phi,k^2\sin^2\phi\right)$

$\frac{\partial}{\partial \phi}\Pi(n;\phi,k)=\frac{1}{(1-k^2\sin^2\phi)}\!$

$\frac{\partial}{\partial k}\Pi(n;\phi,k)=\frac{k}{n-k^2}\left[\frac{E(\phi;k)}{k^2-1}+\Pi(n;\phi,k)-\frac{k^2\sin2\phi}{2(k^2-1)\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\right]\!$

特殊值 [编辑]

$\Pi(n; \phi,1) =\frac{1}{2n-2}\left[\sqrt n \ln \frac{1+\sqrt n\sin\phi}{1-\sqrt n\sin\phi}-2\ln(\sec\phi+\tan\phi)\right]\!$

$- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!$

$\Pi(0;\phi,k)=F(\phi,k) \!$

$\Pi(n;\phi,0)=\frac{{\rm{arctanh}}(\sqrt{n-1}\tan \phi)}{\sqrt{n-1}}\!$

$- \frac{\pi}{2}\leq\Re(\phi)\leq \frac{\pi}{2}\!$

$\Pi(n;\phi,\sqrt n)=\frac{1}{1-n}\left[E(\phi,\sqrt n)-\frac{n\sin2\phi}{2\sqrt{1-n\sin^2\phi}}\right]\!$

$\Pi\left(n;\arcsin\frac{\sqrt\phi}{\phi},\sqrt \phi\right)=\frac{\sqrt\phi}{\phi}\Pi\left(\frac{n}{m};\frac{\sqrt n}{n}\right)\!$

$\Pi\left(1;\phi,k\right)=\frac{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\tan\phi-E(\phi,k)}{1-k^2}+F(\phi,k)\!$

第一类完全椭圆积分 [编辑]

如果幅度为 $\frac{\pi}{2}\,$ 或者 $x=1 \,$ ，则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分 $K \,$ 可以定位为

$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{{\rm{d}}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}$

或者

$K(k) = \int_{0}^{1} \frac{{\rm{d}}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}.\!$

它是第一类不完全椭圆积分的特例：

$K(k) = F(1;\,k) = F(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2)\!$

这个特例可以表达为幂级数

$K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 k^{2n}\!$

它等价于

$K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\}.\!$

其中 $n!! \,$ 表示双阶乘。采用高斯的超几何函数，第一类完全椭圆积分可以表达为

$K(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!$

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以采用算术几何平均值计算。

复数值 [编辑]

$\Re \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} +\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4},;;;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} \,\!$

$\Im \left[K(x+y{\rm{i}})\right] =\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} +\frac{9}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{7}{4},\frac{5}{4},;;;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} \,\!$

特殊值 [编辑]

$K(\pm \infty)=0\,$

$K(\pm {\rm{i}}\infty)=0\,$

$K(0) = \frac {\pi}{2}\!$

$K(1) = \infty\!$

$K(\frac{\sqrt2}{2})= \frac{8\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,$

$K\left(\sqrt{17-12\sqrt2}\right) =\frac {(4+2\sqrt2)\pi}{\Gamma^2 \left(-\frac 1 4\right)}\sqrt\pi\,$

$K\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]3}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,$

$K\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt[3]4\cdot\sqrt[4]{27}}{8\pi}\Gamma^3 \left(\frac 1 3\right)\,$

$K(-1)=\frac {\sqrt{2\pi}} {8\pi} \Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)\,$

$K(\sqrt2)=\frac{4\sqrt{2\pi}\pi} {\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}+\frac{4\sqrt{2\pi}\pi}{\Gamma^2 \left(\frac 1 4\right)}{\rm{i}}\,$

$K({\rm{i}}k)=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}K\left(\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}\right)\,$

其中

$\Gamma \left(\frac 1 4\right) \approx 3.62561 \,$

$\Gamma \left(\frac 1 3\right) \approx 2.67893 \,$

第一类完全椭圆积分满足

$E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}\,$

第一类完全椭圆积分的导数 [编辑]

$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}k}K^n(k) = \frac{nK^{n-1}(k)E(k)}{2k(1-k)}-\frac{nK^n(k)}{2k}$

第二类完全椭圆积分 [编辑]

第二类完全椭圆积分 $E \,$ 可以定义为

$E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!$

或者

$E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!$

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况：

$E(k) = E(1;\,k) = E(\frac{\pi}{2}\,|\,k^2)\!$

它可以用幂级数表达

$E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} n!^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}\!$

也就是

$E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.\!$

用高斯超几何函数表示的话，第二类完全椭圆积分可以写作

$E(k) = \frac{\pi}{2} \,_2F_1 \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k^2\right).\,\!$

有如下性质

$E(\frac{n\pi}{2};k)=nE(k)\,\!$

$n \in \mathbb{Z}\,\!$

复数值 [编辑]

$E(x+y{\rm{i}})=\left\{\frac{\pi}{2} F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} -\frac{\pi}{8}x F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},;-;-;\\ 1,\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix}\right\}+{\rm{i}}\left\{-\frac{\pi}{8}y F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4},;-;-;\\ 1,\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix} -\frac{3}{64}\pi xy F_{2\times 1 \times1}^{4\times 0 \times0} \begin{bmatrix} \frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},;-;-;\\ 2,\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2};\\ -y^2,x^2 \end{bmatrix}\right\} \,\!$

特殊值 [编辑]

$E(0) = \frac \pi 2\!$

$E(1) = 1\!$

$E(\infty)={\rm{i}}\infty\,$

$E(-\infty)=\infty\,$

$E( {\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,$

$E({\rm{i}})=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+ \frac{\sqrt{2\pi}{\pi}^2}{4\pi\Gamma^2\left(\frac {3}{ 4}\right)}=\frac{\pi \sqrt{2\pi}}{\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)} +\frac{\sqrt{2\pi}}{8\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right) \,$

$E(-{\rm{i}}\infty)=(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}{\rm{i}})\infty\,$

$E\left( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^{-2} + \tfrac{1}{8 \sqrt{\pi}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^2$

$E\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{3}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+ \frac{\sqrt[3]{4}\left(3\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{27} \right)}{48{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!$

$E\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) =\frac{\sqrt[3]{2} \cdot\ \sqrt[4]{27}}{3\Gamma^3\left(\frac 1 3\right)}{\pi}^2+\frac{\sqrt[3]{4}\left(\sqrt[4]{27}-\sqrt[4]{3} \right)}{16{\pi}} \Gamma^3\left(\frac 1 3\right) \!$

$E(\sqrt2-1)=\frac{\sqrt{\pi}}{8}\left[\frac{\Gamma(\frac{1}{8})}{\Gamma(\frac{5}{8})}+\frac{\Gamma(\frac{5}{8})}{\Gamma(\frac{9}{8})}\right]\!$

$E(\sqrt2)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)+\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right){\rm{i}}$

其中

$\Gamma \left(\frac 1 8\right) \approx 7.53394 \,$

$\Gamma \left(\frac 5 8\right) \approx 1.43452 \,$

$\Gamma \left(\frac 9 8\right) \approx 0.94174 \,$

$\Gamma \left(\frac 3 4\right) \approx 1.22541 \,$

第二类完全椭圆积分的导数和不定積分 [编辑]

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}E(k)=\frac{E(k)-K(k)}{k}$

$\int E(k){\rm{d}}k=\frac{2}{3}\left[k K(k)-K(k)+kE(k)+E(k)\right]$

第三类完全椭圆积分 [编辑]

第三类完全椭圆积分 $\Pi \,$ 可以定义为

$\Pi(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}$

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的 $n \,$ ，也即

$\Pi'(n,k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ {\rm{d}}\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k'^2 \sin^2\theta}}.$

用Appell hypergeometric Function表示为

$\Pi(m,n)=\frac{\pi}{2}F_1\left(\frac{1}{2};1,\frac{1}{2};1;m,n\right)\,$

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

$\Pi\left[\frac{(1+x)(1-3x)}{(1-x)(1+3x)},\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]-\frac{1+3x}{6x}K\left[\frac{(1+x)^3(1-3x)}{(1-x)^3(1+3x)}\right]=\,$

$\begin{cases} 0 & \mbox{for }01\!\, \\ \end{cases}$

如

$K\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{4\pi}\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3-\sqrt{6\sqrt3-9}}{2}\Pi\left(\frac{1-\sqrt{2\sqrt3-3}}{2},\frac{1}{2}\right)\,$