極大環面

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數學李群約化代數群理論中,極大子環是其中一類特別的子群,在這些群的分類及表示理論中扮演要角。

緊李群[编辑]

李群 G 中的子環(面)是一個連通緊阿貝爾李子群,這類子群必然同構於環面 T^n。極大環面是其中維度最大者。非緊子群未必有極大環面(例如 \mathbb{R}^n)。

對於緊李群,極大子環對應到李代數中的極大阿貝爾子代數。任意子環皆包含於某個極大子環,任兩個極大子環彼此共軛。極大子環的維度稱為該群的

約化群[编辑]

GS 上的群概形,若存在平展拓撲中的覆蓋 S' \to S,使得 G_{S'} := G \times_S S' 同構於 \mathbb{G}_{m,S'} := \mathbb{G}_m \times S',其中 \mathbb{G}_m := \mathrm{Spec}\mathbb{Z}[T,T^{-1}] 配上自然的群結構,則稱 G環面。若 G \simeq \mathbb{G}_{m,S},稱 G可對角化子環(面)

今設 G \to S 為平滑仿射態射。較常見的情形是 S = \mathrm{Spec} K,其中 K 是域。此時極大子環的定義同於李群。對於一般的基 S,子群概形 T \subset G 是極大子環意謂著:對每個幾何點 \bar{s} \to S,其幾何纖維 T_{\bar{s}} \to G_{\bar{s}} 是前述意義下的極大子環。在平展拓撲下,極大子環「局部上」兩兩共軛。

對於可簡約 S-代數群 G,極大子環對 S 局部上存在。透過極大子環,可以定義根資料,繼而開展約化群的分類理論。

文獻[编辑]

  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564.
  • Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654.
  • Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529.