極端不連通空間

數學上，極端不連通空間是一種拓撲空間，適合以下的等價定義：

1. 任何開集的閉包是開集。
2. 任何閉集的內部是閉集。
3. 任何兩個不相交的開集，其閉包不相交。

一個極端不連通的緊緻豪斯多夫空間，有時會稱為Stonean空間。（注意與Stone空間的分別：Stone空間是完全不連通的緊緻豪斯多夫空間。）Andrew Gleason的一條定理指緊緻豪斯多夫空間範疇的投射對象正是極端不連通的緊緻豪斯多夫空間。在Stone空間和布爾代數之間有對偶性下，Stonean空間恰好對應完備布爾代數。

例子

以下是極端不連通空間：

• 離散空間
• 離散空間的斯通－切赫緊化
• 交換馮·諾伊曼代數的譜

性質

極端不連通的豪斯多夫空間是完全不連通的。但完全不連通的豪斯多夫空間未必是極端不連通的，例如有理數集（予以實數線的子空間拓撲）。

極端不連通的第一可數集體豪斯多夫空間是離散空間。因此如果度量空間是極端不連通的，就是離散的。

參考

• A. V. Arkhangelskii, Extremally-disconnected space, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Johnstone, Peter T. Stone spaces. CUP. 1982. ISBN 0-521-23893-5.