極限 (數列)

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

極限,即為一個數列\{a_n\},使得\lim_{n \to \infty}a_n=L,其中L為一確定的常數,亦即數列\{a_n\}隨著n的增加而趨近於L

定義[编辑]

\{ x_n \}, x_n \in \mathrm R,n=1,2,\ldots,x_0 \in \mathrm R

对于任意的正实数\epsilon,存在自然数N,使得当n>N时,有 |x_n-x_0 | < \epsilon

用符号来表示即 \forall \epsilon >0 ,\exists N \in \mathbb N,\forall n>N,|x_n-x_0 | < \epsilon

则称数列\{ x_n \}收敛x_0记作\lim _{n \to \infty} x_n=x_0

收斂數列[编辑]

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂

數列極限的性質[编辑]

定理1(唯一性)若數列\left\{ {{x_n}} \right\}的極限存在,則極限是唯一的.

   證:設數列\left\{ {{x_n}} \right\}有兩個不相符的極限值a、b,則對應於d = \left| {a - b} \right| > 0,可找到正數N,使n > N時,恆有
   \left| {{x_n} - a} \right| < \frac{d}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
,&{\left| {{x_n} - b} \right|}
\end{array} < \frac{d}{2},
   從而\left| {a - b} \right| = \left| {\left( {a - {x_n}} \right) - \left( {b - {x_n}} \right)} \right| \le \left| {a - {x_n}} \right| + \left| {b - {x_n}} \right| < d.
   這與假設d = \left| {a - b} \right|不符.
   故\left\{ {{x_n}} \right\}不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2(有界性)若數列\left\{ {{x_n}} \right\}有極限,則\left\{ {{x_n}} \right\}有界,即\exists M > 0,\forall n \in {\rm N},有\left| {{x_n}} \right| \le M.

   證:\lim _{n \to \infty} x_n=x_0,所以對\varepsilon  = 1\exists N \in {\rm N},當n > N時有
                            \left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \varepsilon  = 1,
   從而
                            \left| {{x_n}} \right| = \left| {{x_n} - {x_0} + {x_0}} \right| \le \left| {{x_n} - {x_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right| < 1 + \left| {{x_0}} \right|.
   令M = \max \left( {\left| {{x_1}} \right|,\left| {{x_2}} \right|, \cdots ,\left| {{x_N}} \right|,1 + \left| {{x_0}} \right|} \right),於是,\forall n \in {\rm N},有\left| {{x_n}} \right| \le M,即\left\{ {{x_n}} \right\}有界.

但有界數列不一定有極限,如數列

1,0,1,0, \cdots \frac{{1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{2}, \cdots

有界,但無極限.

如數列無界,則數列發散.

定理3(保序性)若\lim _{n \to \infty} x_n=a\lim _{n \to \infty} y_n=b,且a>b,則\exists N \in {\rm N}\forall n \in N,有{x_n} > {y_n}.

   證:已知\lim _{n \to \infty} x_n=a\lim _{n \to \infty} y_n=b,且a>b.取\varepsilon  = \frac{{a - b}}{2} > 0,由極限定義知:
   \exists {N_1} \in {\rm N},\forall n > {N_1},有
                                     \left| {{x_n} - a} \right| < \frac{{a - b}}{2},
   從而
                                     {x_n} > a - \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.
   \exists {N_2} \in {\rm N},\forall n > {N_2},有
                                     \left| {{y_n} - b} \right| < \frac{{a - b}}{2},
   從而
                                     {y_n} > b + \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.
   所以當n > N = \max \left( {{N_1},{N_2}} \right)時,有
                                     {y_n} < \frac{{a + b}}{2} < {x_n},
   即                                            {x_n} > {y_n}.

數列的四則運算[编辑]

\lim _{n \to \infty} x_n=a\lim _{n \to \infty} y_n=b,則

(1)\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= \lim _{n \to \infty } {x_n} \pm \lim _{n \to \infty } {y_n}

(2)\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = \lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot \lim _{n \to \infty } {y_n}

(3)若b \ne 0,{y_n} \ne 0,則\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{{\lim _{n \to \infty } {x_n}}}{{\lim _{n \to \infty } {y_n}}}.

參看[编辑]